Forum de mathématiques - Bibm@th.net

SherlockHolmes

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Polynomes et formule de Taylor

Bonjou,
J'ai beacoup de mal à comprendre le sens et l'interpretation de la formule de Taylor pour un polynome d'un point de vue analytique , surtout qu'en cours on a pas encore fait la formule de Taylor pour les fonctions .

Michel Coste

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Re : Polynomes et formule de Taylor

Bonjour,
Si $P=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$, alors $a_k=\dfrac{P^{(k)}(0)}{k!}$

Dernière modification par Michel Coste (24-01-2024 16:10:55)

bridgslam

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Re : Polynomes et formule de Taylor

Bonsoir,

A mon sens il n' ya pas justement de notion analytique ni de pont à faire avec l'analyse, stricto sensu.
Les dérivations sont définies formellement, pas de limite, ni topologie...
Le seul aspect fonctionnel réside dans l'expression des coefficients, avec les fonctions polynômiales associées à P ou ses dérivées,
ce qui est somme toute pas grand-chose côté analytique.

On suppose en général le corps de caractéristique nulle afin qu'aucune des factorielles en dénominateurs ne s'annule.

La formule donne aussi l'expression (à quelques nuances près ) des coordonnées dans la base $ (1, X-a, (X-a)^2, ...)$
d'un polynôme, ce qui est pratique. Pour a= 0, on les a déjà.

A.

Dernière modification par bridgslam (25-01-2024 09:24:06)

SherlockHolmes

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Re : Polynomes et formule de Taylor

Bonjour ,
         Merci pour votre réponse , mais pourriez-vous clarifier la partie concernant la dérivations définies formellement  .

DeGeer

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Re : Polynomes et formule de Taylor

Bonjour
La dérivée d'une fonction est définie avec la notion de limite (limite du taux d'accroissement). Pour les polynômes, le polynôme dérivé de $P=\sum_{i=0}^n a_i X^i$ est simplement $P'=\sum_{i=1}^n i a_i X^{i-1}$. Il n'y a aucune considération de limite ou de topologie qui intervient.
Si le corps de base est $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, cela correspond à la dérivée de la fonction polynomiale.

Dernière modification par DeGeer (25-01-2024 16:10:21)

Michel Coste

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Re : Polynomes et formule de Taylor

Il n'en reste pas moins que, si $P\in K[X]$, alors $P(X+Y)-P(X)$ est divisible par $Y$ dans $K[X,Y]$ et $P'(X)$ est ce qu'on obtient en faisant $Y=0$ dans $\dfrac{P(X+Y)-P(X)}{Y}$.
Autrement dit, on divise l'accroissement du polynôme par l'accroissement de la variable, et on égale cet accroissement à $0$ dans le quotient.

Dernière modification par Michel Coste (25-01-2024 14:55:29)

SherlockHolmes

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Re : Polynomes et formule de Taylor

j'ai pas compris on a pas fait ça en cours , est ce qu'on a le droit de remplacer Y  par 0 ?

Michel Coste

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Re : Polynomes et formule de Taylor

Je pense que dans ton cours on ne parle pas de polynôme en plusieurs variables. Ne t'inquiète pas si tu ne comprends pas ce que j'ai écrit.
Bien sûr que dans un polynôme on peut remplacer une variable par $0$.
Je réécris un peu différemment ce que j'ai raconté dans le message précédent. On se place dans $K[X,Y]$, que l'on peut identifier à l'anneau $K[X][Y]$ des polynômes en $Y$ à coefficients dans l'anneau des polynômes en $X$. Soit $P\in K[X]$. Alors $P(X+Y)-P(X)$ est divisible par $Y$ dans $K[X,Y]$ : il existe $Q(X,Y)\in K[X,Y]$ tel que $P(X+Y)-P(X)=YQ(X,Y)$. On obtient le polynôme dérivé $P'$ en faisant $Y=0$ dans le quotient $Q$ : $P'(X)=Q(X,0)$.
Il suffit de vérifier cette affirmation en prenant pour $P$ un monôme $X^n$ :
$$(X+Y)^n -X^n= Y Q(X,Y)\quad\text{où}\quad Q(X,Y)=nX^{n-1}+\binom{n}2X^{n-2}Y+\binom{n}3X^{n-3}Y^2+\cdots+Y^{n-1}\;.$$On trouve bien $Q(X,0)=nX^{n-1}$.