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Carnot8

Invité

Loi exponentielle.

Bonsoir,

Je n’arrive pas à traiter les questions difficiles de l'exercice figurant sur le lien suivant, http://www.maths-au-quotidien.fr/lycee/ … ne14-2.pdf .
Pouvez vous m’aider un peu s'il vous plaît pour ces questions ? Il faut être plutôt archéologue ou paléontologue pour pouvoir y répondre.

Merci d'avance.

Carnot8

Invité

Re : Loi exponentielle.

Que représentent, [tex]\mathbb{P} ( a \leq N_t \leq b )[/tex] et [tex]\mathbb{P} ( a \leq X \leq b )[/tex] où, [tex]N_t[/tex] et [tex]X[/tex] sont les deux variables aléatoires figurant dans l'exercice du document que je vous ai indiqué.

Fred

Administrateur

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Re : Loi exponentielle.

Bonjour,

  $\mathbb P(a\leq N_t\leq b)$ désigne la probabilité que le nombre d'atomes radioactifs à l'instant $t$ soit compris entre $a$ et $b$,
$\mathbb P(a\leq X\leq b)$ désigne la probabilité que la durée de vie d'un atome radioactif soit comprise entre $a$ et $b$.

F.

Carnot8

Invité

Re : Loi exponentielle.

Bonsoir Fred,

Merci beaucoup pour ton aide.
Quelle lois de probabilité suivent [tex]X[/tex] et [tex]N_t[/tex] ?

Merci infiniment.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Loi exponentielle.

Bonjour,
La réponse pour $X$ n'est-elle pas dans le titre de ton fil ? D'où vient ce titre ?

Carnot8

Invité

Re : Loi exponentielle.

Bonjour Michel,

Oui, mais on est face à deux variables aléatoires qui se battent pour une seule loi qui est la loi exponentielle. :-D
Pourquoi la loi de [tex]X[/tex] est la loi exponentielle ?
Quelle est la loi de [tex]N_t[/tex] ?

Merci d'avance.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Loi exponentielle.

Quelle est la définition de la loi exponentielle ?

Carnot8

Invité

Re : Loi exponentielle.

Quelle est la définition de la loi exponentielle ?

La loi exponentielle est définie par, [tex]\mathbb{P} ( a \leq T \leq b ) = \displaystyle \int_{a}^{b} \lambda e^{ - \lambda t } dt[/tex] pour une certaine variable aléatoire [tex]T[/tex] qui est soit [tex]X[/tex] soit [tex]N_t[/tex]. Je n’arrive pas à trancher.

Carnot8

Invité

Re : Loi exponentielle.

La 1 ère question de l'exercice demande de déterminer la loi de [tex]X[/tex] ?
Tu m’as répondu Michel que la loi de [tex]X[/tex] est la loi exponentielle. Pourquoi  la loi de [tex]X[/tex] est la loi exponentielle ?

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Loi exponentielle.

La propriété fondamentale de la loi exponentielle est d'être la loi d'un phénomène sans mémoire, c.-à-d. que pour tous réels positifs $s,t$, on a ${\mathbb P}(X>s+t\mid X>s)={\mathbb P}(X>t)$.

Carnot8

Invité

Re : Loi exponentielle.

D’accord. Merci.
Soit [tex]\lambda[/tex] le paramètre de la loi de [tex]X[/tex].
La question 2 demande de calculer [tex]\mathbb{P} ( X \leq t )[/tex] et [tex]\mathbb{P} ( X \leq t ) > t[/tex] en fonction de [tex]t[/tex] et de [tex]\lambda[/tex].
On a, [tex]\mathbb{P} ( X \leq t ) = \displaystyle \int_{- \infty }^{t} \lambda e^{ - \lambda x } dx = [ - e^{ - \lambda x } ]_{ 0 }^t = - e^{ - \lambda t } + \displaystyle \lim_{ x \to 0 } e^{ - \lambda x } = 1 - e^{ - \lambda t } [/tex]
On a, [tex]\mathbb{P} ( X > t ) = \displaystyle \int_{ t }^{ + \infty} \lambda e^{ - \lambda x } dx = [ - e^{ - \lambda x } ]_{ t }^{ + \infty } = \displaystyle \lim_{ x \to + \infty } e^{ - \lambda x } - e^{ - \lambda t } = - e^{ - \lambda t } [/tex]
Correct ?

Carnot8

Invité

Re : Loi exponentielle.

La question 3 demande d’exprimer [tex]\mathbb{P} ( X > t ) = - e^{ - \lambda t }[/tex] en fonction de [tex]N_t[/tex] et de [tex]N_0[/tex].
Quelle est l'expression de la variable aléatoire [tex]N_t[/tex] ?
Merci d'avance.

Michel Coste

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Re : Loi exponentielle.

Une probabilité négative, ça ne te choque pas ?

Carnot8

Invité

Re : Loi exponentielle.

Oui, c'est choquant, mais je n’arrive pas à trouver où j’ai fait l'erreur.

Carnot8

Invité

Re : Loi exponentielle.

On a, [tex]\mathbb{P} ( X > t ) = \displaystyle \int_{ t }^{ + \infty} \lambda e^{ - \lambda x } dx = [ - e^{ - \lambda x } ]_{ t }^{ + \infty } = - \displaystyle \lim_{ x \to + \infty } e^{ - \lambda x } - ( - e^{ - \lambda t } ) = - (- e^{ - \lambda t } ) = e^{ - \lambda t } [/tex]
Correct ?

Michel Coste

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Re : Loi exponentielle.

Tu as trouvé l'erreur de signe.

Dernière modification par Michel Coste (24-01-2024 16:31:28)

Carnot8

Invité

Re : Loi exponentielle.

La question 3 demande d’exprimer [tex]\mathbb{P} ( X > t ) = e^{ - \lambda t }[/tex] en fonction de [tex]N_t[/tex] et de [tex]N_0[/tex].
Quelle est l'expression de la variable aléatoire [tex]N_t[/tex] ?
Merci d'avance.

Michel Coste

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Re : Loi exponentielle.

L'énoncé me semble bizarre. Je me demande si en fait l'énoncé ne confond pas $N_t$ (variable aléatoire à valeurs entières) et son espérance.

Carnot8

Invité

Re : Loi exponentielle.

Je ne sais pas.
Une espérance qui réagit comme une variable aléatoire, on la voit à partir du niveau M1/M2.
L'exercice en question est de niveau Terminale scientifique.
Il faut utiliser des notions issues d'un cours sur la radioactivité et sur la datation au Carbone 14, issu du cours de Physique, Terminale scientifique.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Loi exponentielle.

Pas besoin de notions de M1-M2, pas besoin non plus d'aller chercher un cours sur la radioactivité !
C'est juste un petit exercice sur la loi exponentielle.
La durée de vie $X$ d'un atome de carbone 14 suit une loi exponentielle.
La variable aléatoire $N_t$ est le nombre d'atomes de carbone 14 qui survivent au temps $t$. C'est donc la somme de $N_0$ épreuves de Bernoulli indépendantes avec probabilité de succès $\mathbb P(X>t)$. La loi de $N_t$ est donc une loi binomiale dont on connaît les paramètres. Comme $N_0$ est grand a priori, on peut approcher cette loi par une loi normale.
Mais l'énoncé ne demande pas la loi de $N_t$, et j'ai en fait fortement l'impression que ses questions concernent l'espérance de $N_t$ et pas $N_t$ elle-même. En gros l'énoncé fait comme si $N_t$ était une quantité dépendant de $t$, et pas une variable aléatoire. Cette approximation peut se justifier, mais l'énoncé est très confus à ce sujet.

Dernière modification par Michel Coste (24-01-2024 21:38:58)