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tilda

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Valeur d'adhérence

Bonjour

pourriez-vous s'il vous plait m'expliquer cette définition d'une valeur d'adhérence lambda :
pour tout eps>0 , pour tout m>=0 , il existe n>=m , d(xn,lambda)<eps

Merci

Lune66

Invité

Re : Valeur d'adhérence

Bonsoir,

Si je ne m’abuse, la définition d'une valeur d’adhérence [tex]\lambda[/tex] d'une suite [tex](u_n)_{ n \geq 0 }[/tex] que tu utilises n'est que la traduction de la définition ensembliste qui dit que, [tex]\lambda[/tex] est une valeur d’adhérence d'une suite [tex](u_n)_{ n \geq 0 }[/tex] si [tex]\lambda \in \displaystyle \bigcap_{ n \geq 0 } \overline{ \{ \ u_k \ | \ k \geq n \ \} } [/tex]. Voir ici : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … aladh.html pour en savoir plus.

Cordialement.

tilda

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Re : Valeur d'adhérence

le pour tout m>=0 dans la définition que j'ai écrite dessus que je n'ai pas compris ?

Lune66

Invité

Re : Valeur d'adhérence

Le pour tout [tex]m \geq 0[/tex] est la meme chose que [tex] \displaystyle \bigcap_{ m \geq 0 }[/tex] dans [tex]\lambda \in \displaystyle \bigcap_{ n \geq 0 } \overline{ \{ \ u_k \ | \ k \geq n \ \} } [/tex], il me semble.

bridgslam

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Re : Valeur d'adhérence

Bonjour,

Pour être moins formel, cela signifie que la suite est aussi proche que l'on veut de $\lambda$ une infinité de fois.
C'est moins fort que "à partir d'un certain rang".
Par exemple la suite $(-1)^n$ en a deux: 1 et -1.
Cela revient à dire aussi qu'une suite extraite au moins converge vers cette valeur.
Autre résultat, souvent plus pratique: a est une valeur d'adhérence de la suite u <=> a est une valeur prise une infinité de fois par u ou est un points d'accumulation des iamages par u.
Une suite peut en quelque sorte "s'agglutiner" au fil de ses images autour de plusieurs valeurs , ce sont ses valeurs d'adhérence.
Si on se place dans $\mathbb{R}$, une suite peut avoir 0, 1 ( si convergente par exemple ), ou plusieurs.
La suite 0, 1/2, 1, 1/3, 2, 1/4, 3, 1/5, ... possède une seule valeur réelle d'adhérence ,  mais n'est pas convergente.
Si la suite est bornée, elle en a au moins une.

A.

Dernière modification par bridgslam (20-01-2024 16:54:53)

tilda

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Re : Valeur d'adhérence

Bonjour Alain

La suite 0, 1/2, 1, 1/3, 2, 1/4, 3, 1/5, ... possède une seule valeur réelle d'adhérence
laquelle ici ?

Merci beaucoup

bridgslam

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Re : Valeur d'adhérence

Bonjour,

Si ce n'est pas une blague (je préfèrerais), vous avez tous les moyens de répondre si vous avez lu les posts précédents:

- exhiber une valeur d'adhérence de la suite
- montrer que c'est la seule.

Pour ce deuxième point (un peu plus subtil ) je vous donne un petit coup de pouce: pour cette suite particulière, en considérant deux parties disjointes infinies de $\mathbb{N}$ (partition en fait) une suite extraite quelconque qui converge dans $\overline{\mathbb{R}}$  a une seule possibilité de limite finie, ou tend vers $+\infty$.

▼indications rapides

Visiblement aucune valeur réelle n'est prise une infinité de fois par la suite.
Prenant toutes les valeurs entières, vu dans $\overline{\mathbb{R}}$, $+\infty$ est clairement un point d'accumulation de l'image de la suite.
Il vous reste à chercher quels sont les points d'accumulation (finis) possibles, ce qui est vraiment facile.

Vous pouvez aussi faire une preuve directe sans passer par cette remarque.

Analogie avec deux valeurs d'adhérences finies: la suite $u_n = 1/(n+1)$ si n est pair et  $u_n = 1 + 1/(n+1)$ si n est impair.
L'idée de partition est commune à mes deux exemples: quand d'un côté on a le beurre et d'u côté opposé on a l'argent du beurre, plus moyen d'aller folâtrer avec la fermière...
Variante mathématique à la c... du fameux dicton, :-)

A.

Dernière modification par bridgslam (20-01-2024 17:05:57)