Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tilda

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Suite absolument convergente

Bonjour

s'il vous plait , si $(u_n)$ est absolument convergente pourquoi ceci veut dire que $\sum |u_n|$ est finie ?

Merci beaucoup

bridgslam

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Re : Suite absolument convergente

Bonjour,

Je pense que vous voulez dire si la série $\Sigma (u_n)$ est abs. convergente...

Une série numérique est absolument convergente <=> la série de ses modules (ou valeurs absolues si réels)  est convergente.
J'aurais tendance à dire que c'est la définition.
Une autre définition est de que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est sommable ( somme de la famille et somme de la série coïncident alors).
On voit mieux comme cela qu'il n'y a aucunement d'ordre de sommation qui joue, seules les images comptent.

Bonne soirée
Alain

Dernière modification par bridgslam (17-01-2024 16:57:40)

tilda

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Re : Suite absolument convergente

Bonsoir

somme de la famille et somme de la série coïncident alors
je n'ai pas compris cette interprétation , pourriez-vous la clarifier ?

Merci

Glozi

Invité

Re : Suite absolument convergente

Bonsoir,
Peut-être qu'il serait utile de savoir quelles sont tes définitions de "absolument convergente" et de "$\sum |u_n|$ finie" ?
Bonne soirée

bridgslam

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Re : Suite absolument convergente

Bonjour,

En gros il y a deux façons de s'intéresser à l'ajout des éléments d'une famille indexée par un ensemble I ( a priori quelconque):

1- si I est ordonné ( comme $\mathbb{N}$, alors c'est une suite),
Vous pouvez faire des sommes partielles progressives  finies, en suivant l'ordre de I. Vous regardez si ces sommes convergent ou pas.
Il n'est pas dit que vous auriez eu les mêmes propriétés de convergence ou divergence en sommant dans un ordre différent.
2- en faisant fi de l'ordre sur I, ou s'il n'y en a pas, vous pouvez considérer toutes les sommes en bloc faites sur les parties finies dans I, et observer leur comportement. Quand ces sommes convergent , la famille est dite sommable. On a alors d'excellentes propriétés car c'est plus naturel : on colle aux images sans autre forme de procès.

On démontre que la famille des termes d'une série est sommable <=> la série est absolument convergente.
Mieux: une série est commutativement convergente <=>elle est absolument convergente.
Alors le module de la somme est inférieur à la somme de la série des modules.
On peut se placer dans un evn avec des propriétés analogues avec la norme, c'est mieux si c'est un Banach qui rapproche des séries numériques classiques.

A.

tilda

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Re : Suite absolument convergente

Je n'ai jamais entendu parler de "somme de famille"(quelle famille ?) et j'entends par "somme de série" $\sum \sum un$

bridgslam

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Re : Suite absolument convergente

Bonsoir ,

Comme en topologie avec vos précédents posts, il faut reprendre les définitions sur les familles, suites et séries.
Je ne peux pas tout reprendre, il faut apprendre les notions de base, c'est indispensable.
Le forum est orienté sur l'aide aux exercices ,  pas de redonner des définitions basiques.
La somme d'une série convergente est la limite de la suite des sommes partielles.
La somme double que vous écrivez a une valeur infinie si la série converge vers une somme non nulle.
Et si elle est nulle, vous ajoutez une infinité de 0...
Commencez par des séries réelles positives pour comprendre les bases, c'est une idée.

Bon courage
A.

bridgslam

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Re : Suite absolument convergente

Bonjour

Pour résumer ( la démarche devant être généralisée sur tous les sujets de la discipline):

- apprendre les définitions à la lettre près.

Ici vous devez absolument revenir sur celles de famille , suite ,
série, convergence au sens des suites (*) ou variantes (**), liens avec la topologie toujours en filigrane en Analyse.
En particulier, une suite est convergente ou pas.
"Suite absolument convergente" ne veut rien dire sauf erreur.

- lire les lemmes, mais voir surtout en quoi ils permettent de prouver les théorèmes , à savoir sur le bout des doigts.
Diverses méthodes permettent d'atteindre ce but, avec un peu de travail.

- la toile permet de comparer des formulations légèrement différentes, certaines seront plus adaptées à votre tournure d' esprit, il faut alors les faire siennes sans hésiter ( plus facile à mémoriser, à articuler avec le reste etc).
Le web permet de voir des notions étendues ou des résultats utiles, se pencher dessus de temps à autre permet d'avoir des vues plus globales sur une question et de rendre les choses passionnantes. De communiquer une fois un socle minimum acquis, notamment sur les exercices délicats.
D'illustres précurseurs tels Gauss, Euler, ... auraient vendu leur âme au diable pour pouvoir utiliser de tels moyens...
tandis que Pascal et Babbage en resteraient coi!

(*) Bon exemple: convergence selon le filtre de Fréchet qui est celui que vous utilisez pour les suites, à savoir basé sur les parties de N contenant des intervalles [ N, +inf[.
(**)Les familles sommables utilisent une base de filtre fondée non plus sur N, mais sur l'ensemble des parties finies dans I.
On plonge un peu dans l'abstraction car cette base de filtre est un ensemble de parties de parties de I , donc apparaît au premier abord comme un inconvénient,
Mais la définition de la sommabilité tient en 5 ou 6 mots
(avantage) avec.
Dans un premier temps, le rattachement des séries aux suites avec leur convergence habituelle devrait amplement suffire pour les exos si vous avez les idées claires dessus.
La sommabilité est un complément idéal, mais pas indispensable au début (il permet de mieux comprendre néanmoins l'absolue convergence et les fortes propriétés liées).

La démarche que je vous propose semble une nécessité, vu les confusions et non sens multiples de symbolisme et de sémantique qui apparaissent.
Avec de la patience et de la persévérance, vous y arriverez.
A.

tilda

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Re : Suite absolument convergente

Merci beaucoup bridgslam !