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Lune66

Invité

Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Bonjour,

Soit [tex]f \ : \ \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] une forme multilinéaire.
Soit [tex]( X_1 , \dots , X_n )[/tex] un vecteur aléatoire dont les composants sont mutuellement indépendants et de meme loi de Bernoulli valant [tex]\pm 1[/tex] et de probabilité [tex]\dfrac{1}{2}[/tex].
Quelle est la loi de [tex]f(X_1 , \dots , X_n )[/tex] ?

Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Bonjour,
Essaie de faire apparaître $f(1,1,1,\dots,1)$.
Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

PS : une variable $X$ qui vaut $\pm 1$ avec proba $1/2$ ne s'appelle pas une variable de Bernoulli mais une variable de Rademacher.

Lune66

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre réponse.

Bonjour,
Essaie de faire apparaître $f(1,1,1,\dots,1)$.

Je ne sais pas comment.

Glozi

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Certainement en utilisant la multilinéarité.

Lune66

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Mais, on ne connait pas l'expression de [tex]f[/tex]. Comment va-t-on savoir ?

Glozi

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

En soi, il n'y a pas beaucoup de fonctions multilinéaires $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$...mais là n'est peut-être pas la question.
Qu'est ce que ça veut dire que $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est multilinéaire ? Par exemple que vaut $f(2,1,1,1)$ en fonction de $f(1,1,1,1)$ ? Que vaut $f(2,17,1,1)$ en fonction de $f(2,1,1,1)$ puis en fonction de $f(1,1,1,1)$ ? etc...
(il est logique qu'à la fin le résultat dépende de $f$ d'une manière ou d'une autre).

Au fait, est-ce que tu connais un exemple explicite de $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ multilinéaire (à part la fonction nulle ?)

Lune66

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Bonsoir,

Qu'est ce que ça veut dire que $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est multilinéaire ?

$f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est multilinéaire signifie que [tex]f[/tex] est linéaire par rapport à chaque variable.

Par exemple que vaut $f(2,1,1,1)$ en fonction de $f(1,1,1,1)$ ? Que vaut $f(2,17,1,1)$ en fonction de $f(2,1,1,1)$ puis en fonction de $f(1,1,1,1)$ ? etc...

- [tex]f(2,1,1,1) = 2 f(1,1,1,1)[/tex].
- [tex]f(2,17,1,1) = 2 f(1,1,1,1) + 17 f(1,1,1,1) = 19 f(1,1,1,1)[/tex].

Au fait, est-ce que tu connais un exemple explicite de $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ multilinéaire (à part la fonction nulle ?)

A part la fonction nulle, il y a le déterminant et le permanent. Ce sont les seuls que je connais. Il se peut qu'il en existe d’autres. Par exemple, les polynômes symétriques. Non ?

Glozi

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

$$f(2,17,1,1) = 2 f(1,1,1,1) + 17 f(1,1,1,1) = 19 f(1,1,1,1)$$

Non, cela est faux, $f(2,17,1,1)=2f(1,17,1,1)$ par la linéarité en la première variable, puis $f(1,17,1,1)=17f(1,1,1,1)$ par linéarité en la deuxième variable. Donc $f(2,17,1,1)=34f(1,1,1,1)$.

A part la fonction nulle, il y a le déterminant et le permanent. Ce sont les seuls que je connais. Il se peut qu'il en existe d’autres. Par exemple, les polynômes symétriques. Non ?

Attention le déterminant (comme le permanent) est une forme multilinéaire mais définie comme $\det : (\mathbb{R}^n)^n \to \mathbb{R}$ et non comme une fonction $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ (la $n$-linéarité du déterminant porte sur les $n$ vecteurs qu'on lui donne en entrée, pas sur les $n^2$ coordonnées des $n$ vecteurs !).

Lune66

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Merci beaucoup pour toutes ces précisions Glozi.
Tu voulais peut être dire que, [tex]f \ : \ \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] devrait être une forme linéaire et non multilinéaire ?

Glozi

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Je n'ai pas vraiment compris ta remarque ?

Vu que dans ton premier post tu parles de $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ comme une forme multilinéaire, je comprends cela comme une fonction étant $\mathbb{R}$ linéaire en chacun des variables, et non comme une fonction linéaire.
De mon point de vue :
Si $E_1,\dots,E_n$ sont des espaces vectoriels et $F$ un espace vectoriel, une application multinéaire $f : E_1\times E_2 \times \dots \times E_n \to F$ est par définition une fonction qui est linéaire en chacune des $n$ variables (ces variables sont a priori des vecteurs).

Ex : en prenant $E_1=E_2=\dots=E_n= \mathbb{R}^n$ et $F=\mathbb{R}$ alors $\det : E_1 \times E_2 \times \dots \times E_n\to F$ est bien une fonction multilinéaire.

Dans ton premier post, je comprends que l'énoncé signifie qu'on prend $E_1=E_2=\dots=E_n = \mathbb{R}$ et $F=\mathbb{R}$.

Si tu voulais en fait prendre $f$ linéaire de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$, alors tu ne vas pas pouvoir te ramener à $f(1,1,\dots,1)$.

Lune66

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Merci pour ces précisions.
Donc, [tex]f \ : \ \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] multilinéaire ne peut être définie que comme, [tex]f(x_1 , \dots , x_n ) = \lambda x_1 \dots x_n[/tex], avec, [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex]. Non ?

Glozi

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Oui tout à fait, et on remarque que la valeur du $\lambda$ est le fameux $f(1,1,\dots,1)$.

Lune66

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

D’accord. Merci.

Donc, l'exercice se résume à dire,

Soit [tex]( X_1 , \dots , X_n )[/tex] un vecteur aléatoire dont les composants sont mutuellement indépendants et de meme loi de Rademacher valant [tex]\pm 1[/tex] et de probabilité [tex]\dfrac{1}{2}[/tex].

Quelle est la loi de [tex]f(X_1 , \dots , X_n ) = X_1 \dots X_n [/tex] ( On se limite au cas [tex]\lambda = 1[/tex] pour simplifier ).

Comment alors trouver la loi de [tex]f(X_1 , \dots , X_n ) = X_1 \dots X_n [/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Bonjour,

Comment alors trouver la loi de [tex]f(X_1 , \dots , X_n ) = X_1 \dots X_n [/tex] ?

Je dirais : comme d'habitude! On cherche les valeurs prises par $X_1\cdots X_n$ (il n'y en a pas beaucoup!).
Puis pour chaque valeur $a,$ on détermine $P(X_1\cdots X_n=a)$.
Tu peux peut-être commencer par le cas $n=2$.

F.

Lune66

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Bonjour,

Je dirais : comme d'habitude! On cherche les valeurs prises par $X_1\cdots X_n$ (il n'y en a pas beaucoup!).
Puis pour chaque valeur $a,$ on détermine $P(X_1\cdots X_n=a)$.

Les valeurs prises par [tex]X_1 \cdots X_n[/tex] sont, [tex] 1 [/tex] et [tex] -1 [/tex].
On commence par le calcul de, [tex]\mathbb{P} (X_1\cdots X_n=1)[/tex],
On a, [tex]\{ X_1 \cdots X_n = 1 \} = \displaystyle \bigcup_{(  i_{1} , \cdots i_{n-1} ) \in X_{1} ( \Omega_1 ) \times \cdots \times X_{n-1} ( \Omega_{n-1} )} \{ X_1 = i_{1} \} \cap \cdots \cap \{ X_{n-1} = i_{n-1} \} \cap \{ X_1 \cdots X_n = 1 \}[/tex]
Donc, [tex]\mathbb{P} (X_1\cdots X_n=1) = \displaystyle \sum_{(  i_{1} , \cdots i_{n-1} ) \in X_{1} ( \Omega_1 ) \times \cdots \times X_{n-1} ( \Omega_{n-1} )} \mathbb{P} ( \{ X_1 = i_{1} \} \cap \cdots \cap \{ X_{n-1} = i_{n-1} \} \cap \{ X_1 \cdots X_n = 1 \} ) [/tex]
Comment calculer, [tex]\mathbb{P} ( \{ X_1 = i_{1} \} \cap \cdots \cap \{ X_{n-1} = i_{n-1} \} \cap \{ X_1 \cdots X_n = 1 \} )[/tex] ?

Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Bonjour,
À ton avis, si tu multiplies des signes au hasard (avec indépendance etc...), il est plus probable d'avoir + ou d'avoir - ?

Si tu veux continuer sur ton approche tu peux écrire $\{X_1=i_1\}\cap \{X_2=i_2\}\cap \dots\cap\{X_{n-1}=i_{n-1}
\} \cap \{X_1\cdots X_n = 1\} = \{X_1=i_1\}\cap \{X_2=i_2\}\cap\dots\cap \{X_{n-1}=i_{n-1}\} \cap \{X_n = \frac{1}{i_1\cdots i_{n-1}}\}$

Sinon, pour avoir $X_1\cdots X_n=1$ il y a deux options :
Ou bien $X_1\cdots X_{n-1}=1$ et $X_n=1$
Ou bien $X_1 \dots X_{n-1}=-1$ et $X_n=-1$,

on a donc bien envie de faire une récurrence (d'où l'indication de Fred commencer par $n=2$ (voire même $n=1$)).
Bonne journée

Lune66

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Bonjour,

D’accord. Merci.

Pour, [tex]n= 2[/tex],
[tex]\mathbb{P} ( X_1 X_2 = 1 ) = \mathbb{P} ( X_1 = 1 \ ; \ X_2 = 1 ) + \mathbb{P} ( X_1 = - 1 \ ; \ X_2 = - 1 )[/tex]
[tex]= \mathbb{P} ( X_1 = 1 ) \mathbb{P} ( X_2 = 1 ) + \mathbb{P} ( X_1 = - 1 ) \mathbb{P} ( X_2 = - 1 )[/tex]
[tex]= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}[/tex].

Pour, [tex] n \geq 3[/tex],
[tex]\mathbb{P} ( X_1 \cdots X_n = 1 ) = \mathbb{P} ( X_1 \cdots X_{n-1} = 1 \ ; \ X_n = 1 ) + \mathbb{P} ( X_1 \cdots X_{n-1} = - 1 \ ; \ X_n = - 1 )[/tex]
[tex]= \mathbb{P} ( X_1 \cdots X_{n-1} = 1 ) \mathbb{P} ( X_n = 1 ) + \mathbb{P} ( X_1 \cdots X_{n-1} = - 1 ) \mathbb{P} ( X_n = - 1 )[/tex]
Donc, par récurrence, on suppose que, [tex]\mathbb{P} ( X_1 \cdots X_{n-1} = 1 ) = \mathbb{P} ( X_1 \cdots X_{n-1} = 1 ) = \dfrac{1}{2}[/tex], et on montre que, [tex]\mathbb{P} ( X_1 \cdots X_{n} = 1 ) = \mathbb{P} ( X_1 \cdots X_{n} = 1 ) = \dfrac{1}{2}[/tex] ?
Est ce que c'est çà ?

Glozi

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Oui, ça fonctionne

Lune66

Invité

Re : Formes multilinéaires et loi de Bernoulli.

Merci Glozi et Fred.
C'est compris de toute façon pour cet exercice.