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#1 15-01-2024 10:51:21
- XAVPROF
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suite et log
Bonjour,
On propose d'étudier la convergence d'une suite Un = (2n n ) ^1/n
1 ) Comment vous comprenez déjà la notation de cette suite ?
2) Ensuite on demande de vérifier ln(Un )=1/n somme de k=1 à n ( ln ( n+k)/k)
Quelqu'un aurait une idée ? Merci
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#4 15-01-2024 11:54:36
- Borassus
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Re : suite et log
Bonjour,
Les coefficient binomial s'écrit en colonne (pas en ligne) dans la littérature mathématique , autrefois $C_{2n}^n$ dans mes années
A.
Bonjour,
Petite digression par rapport au sujet : pourquoi, et quand, a-t-on abandonné l'écriture $C_n^k$, homogène avec l'écriture $A_n^k$, pour cette écriture en colonne $\binom{n}{k}$, avec, de plus, cette inversion des paramètres $n$ et $k$ ?
Je trouve l'ancienne notation beaucoup plus confortable, qui se lit dans le bon ordre « combinaisons de $k$ parmi $n$ », que la nouvelle.
Dernière modification par Borassus (15-01-2024 11:55:27)
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#5 15-01-2024 13:07:38
- Fred
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Re : suite et log
Bonjour,
Petite digression par rapport au sujet : pourquoi, et quand, a-t-on abandonné l'écriture $C_n^k$, homogène avec l'écriture $A_n^k$, pour cette écriture en colonne $\binom{n}{k}$, avec, de plus, cette inversion des paramètres $n$ et $k$ ?
Je trouve l'ancienne notation beaucoup plus confortable, qui se lit dans le bon ordre « combinaisons de $k$ parmi $n$ », que la nouvelle.
Je pense qu'on a abandonné l'écriture $C_n^k$ pour suivre la notation anglo-saxonne.
En anglais, on lit d'ailleurs "n choose k"
Il y a une norme internationale pour définir les symboles utilisés en mathématiques, la norme ISO/CEI 80000-2.
Dans sa première version (2009), elle autorise les deux symboles $C_n^k$ et $\binom nk$ avec des significations différentes :
$C_n^k$ pour le nombre de combinaisons sans répétitions, $\binom nk$ pour le coefficient binomial
(bien sûr, c'est la même chose....). On peut la lire ici. Il y a une version 2019 que je n'arrive pas à trouver en ligne (et elle est très chère...)
En France, je pense que la notation $\binom nk$ a été popularisée (rendu obligatoire?) dans un programme de classe prépa entre 1995 et 2005.
F.
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#6 15-01-2024 13:47:27
- Borassus
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Re : suite et log
Merci, Fred, pour cette explication qui manquait à ma culture et compréhension mathématiques !
Je mentionne souvent l'ancienne notation et ne savais pas expliquer la raison d'être de la notation actuelle.
Maintenant, je sais, et me coucherai ce soir un peu moins ignorant que je l'étais ce matin. :-)
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#7 15-01-2024 15:19:23
- DrStone
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Re : suite et log
Notez que cette notation était déjà bien usitée avant 1995 en France. Voir par exemple ces pages du Cours de Mathématiques de Mme. Lelong-Ferrand et M. Arnaudiès (Tome 1, Algèbre, 1978).
Dernière modification par DrStone (15-01-2024 15:21:53)
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#11 15-01-2024 17:34:34
- XAVPROF
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Re : suite et log
Bonjour,
Est ce que ça ne serait pas plutôt $\dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n ln(\dfrac {n+k}{n})$ ?
C'est bon
en décomposant (n+n)/n x (n+(n-1))/(n-1)x ((n+(n-2))/(n-2) x........, on arrive à la solution .
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#16 16-01-2024 13:45:50
- bridgslam
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Re : suite et log
Bonjour,
Zebulor a écrit :Bonjour,
Est ce que ça ne serait pas plutôt $\dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n ln(\dfrac {n+k}{n})$ ?C'est bon
en décomposant (n+n)/n x (n+(n-1))/(n-1)x ((n+(n-2))/(n-2) x........, on arrive à la solution .
OK mais donc c'est bien k qui est au dénominateur dans la sommation (comme vous l'aviez écrit initialement), pas n, non ?
A.
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#17 16-01-2024 16:15:23
- Borassus
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Re : suite et log
Bonjour,
Je comprends mieux l'exercice maintenant (et la question) :
La suite $(u_n)$ est définie par $u_n = \sqrt[n]{\binom{2n}{n}}$.
$ln{(u_n)} = \frac{1}{n}ln{\binom{2n}{n}} = \frac{1}{n}ln{\frac{(2n)!}{n!n!}} $ ce qui aboutit à l'expression demandée, avec effectivement $k$ au dénominateur.
Ensuite il faut calculer la limite de l'expression de $ln{(u_n)}$ pour déterminer la limite de $u_n$ par exponentiation.
Dernière modification par Borassus (16-01-2024 16:17:08)
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#18 16-01-2024 23:10:04
- bridgslam
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Re : suite et log
Bonsoir,
On peut calculer que cela converge effectivement vers 2ln2,
grâce à un calcul d'intégrale ( il faut intégrer $x->ln((1+x)/x) $ entre 0 et 1, c'est une intégrale impropre qui converge au voisinage de 0...)
Du coup U tend vers 4.
A.
Dernière modification par bridgslam (17-01-2024 04:27:57)
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#19 17-01-2024 05:04:24
- XAVPROF
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Re : suite et log
Bonjour,
XAVPROF a écrit :Zebulor a écrit :Bonjour,
Est ce que ça ne serait pas plutôt $\dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n ln(\dfrac {n+k}{n})$ ?C'est bon
en décomposant (n+n)/n x (n+(n-1))/(n-1)x ((n+(n-2))/(n-2) x........, on arrive à la solution .
OK mais donc c'est bien k qui est au dénominateur dans la sommation (comme vous l'aviez écrit initialement), pas n, non ?
A.
Effectivement k au dénominateur
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#20 17-01-2024 09:17:17
- bridgslam
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Re : suite et log
Bonjour,
Exo amusant (surtout pour la partie convergence) entièrement élucidé donc.
Je doute qu'on vous l'ait posé tel quel du point de vue notation,
ce qui a eu pour effet de semer le trouble pour le coeff
Binom.
Au pire joindre une petite image de l'énoncé originel, on jouera moins à Sherlock Holmes.
Bonne journée
A.
Dernière modification par bridgslam (17-01-2024 10:33:51)
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#21 17-01-2024 10:03:10
- XAVPROF
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Re : suite et log
Bonsoir,
On peut calculer que cela converge effectivement vers 2ln2,
grâce à un calcul d'intégrale ( il faut intégrer $x->ln((1+x)/x) $ entre 0 et 1, c'est une intégrale impropre qui converge au voisinage de 0...)Du coup U tend vers 4.
A.
Bonjour,
Comment vous joindre une image de l'énoncé pour compléter la discussion ?
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#22 17-01-2024 10:17:06
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : suite et log
Bonjour,
Plusieurs moyens, mais en général j'utilise le site cjoint qui permet de déposer des images proprement sur un serveur, ce qui évite
d'encombrer celui-ci. La procédure est simple une fois sur cjoint, bien référencé sur Google.
Ceci mis à part, en utilisant latex, c'était un autre moyen tout bête : mettre entre dollars \binom{2n}{n} demande 2 s, à comparer
à la poignée de minutes à prendre quand on se penche sur votre exo...
A.
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#23 17-01-2024 11:04:14
- XAVPROF
- Membre
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Re : suite et log
Bonjour,
Plusieurs moyens, mais en général j'utilise le site cjoint qui permet de déposer des images proprement sur un serveur, ce qui évite
d'encombrer celui-ci. La procédure est simple une fois sur cjoint, bien référencé sur Google.
Ceci mis à part, en utilisant latex, c'était un autre moyen tout bête : mettre entre dollars \binom{2n}{n} demande 2 s, à comparer
à la poignée de minutes à prendre quand on se penche sur votre exo...A.
Bonjour,
Ok, je vais essayer
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#24 17-01-2024 11:08:33
- XAVPROF
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Re : suite et log
bridgslam a écrit :Bonjour,
Plusieurs moyens, mais en général j'utilise le site cjoint qui permet de déposer des images proprement sur un serveur, ce qui évite
d'encombrer celui-ci. La procédure est simple une fois sur cjoint, bien référencé sur Google.
Ceci mis à part, en utilisant latex, c'était un autre moyen tout bête : mettre entre dollars \binom{2n}{n} demande 2 s, à comparer
à la poignée de minutes à prendre quand on se penche sur votre exo...A.
Bonjour,
Ok, je vais essayer
Comment justifier l'encadrement de ln (un) dans la question 4 du sujet ? Des pistes possibles ?
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#25 17-01-2024 11:49:44
- bridgslam
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Re : suite et log
Bonjour,
C'est un peu l'astuce qui m'a orienté vers la somme de Riemann, poser x = k/n, c'est 1/x qui apparait dans la sommation, on retombe sur nos pieds avec l'expression en $ln \frac {1 + x}{x}$
A.
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