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Jaber

Invité

Deux distances topologiquement équivalentes

Bonjour ،svp comment montrer que ces deux distances sont équivalentes ?
D(x,y)= l exp(x)-exp(y)l avec la distance usuelle.

Merci pour votre aide.

bridgslam

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Re : Deux distances topologiquement équivalentes

Bonjour,

En utilisant la continuité de l'exponentielle et de sa réciproque (bien connues) , vous pouvez montrer que toute boule ouverte pour l'une des distances en contient une pour l'autre distance (avec le même centre).

A.

Jaber

Invité

Re : Deux distances topologiquement équivalentes

Bonjour , il faut montrer que la famille des ouverts pour la première distance est la même famille des ouverts pour l'autre distance,
Donc pour montrer cela , on doit raisonner par double inclusion sur les ouverts et non sur les boules ouvertes ??

Merci.

bridgslam

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Re : Deux distances topologiquement équivalentes

Bonjour ,

Cela suffit pour le montrer, je vous laisse méditer pourquoi.
Indice: qu'est-ce qu'un ouvert vis à vis des boules?

Si O est un ouvert pour D (resp. d) , montrer c' est un ouvert pour d ( resp. D ) est simplissime compte-tenu de la propriété indiquée.
Et bien noter que la double inclusion n'est pas sur les ouverts en soi mais sur leurs topologies respectives.

▼un exemple de preuve rapide

La fonction $Id_{\mathbb{R}} $est bijective (et égale à sa réciproque).

Cette fonction est continue de $(\mathbb{R}, |.| )$ dans $(\mathbb{R}, D )$ puisque exp est continue
Vu dans l'autre sens en composant par le logarithme népérien, on a la continuité inverse.

Une partie de  $\mathbb{R}$ est un ouvert  pour d ssi elle est un ouvert pour D. Les deux topologies sont égales.

Bonne journée

A.

Dernière modification par bridgslam (13-01-2024 11:27:33)

bridgslam

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Re : Deux distances topologiquement équivalentes

Sinon vous pouvez aussi montrer que les suites convergentes sont les mêmes pour chaque distance.
En topologie il y a souvent plusieurs voies agréables.
Montrer que l'identité est un homéomorphisme entre les deux espaces en est encore une autre: vous retomberez sur l'idée de continuités déjà évoquées, sous un angle juste psychologique différent ( voir post précédent )

A.

Dernière modification par bridgslam (13-01-2024 11:29:09)

Jaber

Invité

Re : Deux distances topologiquement équivalentes

Bonjour, c'est compris les méthodes, mais vous avez dit qu'on doit montrer que toute boule ouverte pour l'une des distances en contient une pour l'autre distance , mais pourquoi avec même centre ???

bridgslam

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Re : Deux distances topologiquement équivalentes

Bonsoir,

Si vous partez d'un ouvert O pour la distance D, vous devez montrer que pour tout x dans O, une boule ouverte au sens de l'autre distance (d) , de centre x ,
est contenue dans O. Or il existe par définition déjà une boule ouverte de centre x au sens de D contenue dans O.
Il ne reste donc qu'à conclure avec l'inclusion de boules de centre x ( à prouver).
Idem en intervertissant les distances...

Alain