Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Toni

Invité

Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour, s'ils vous plaît,dans un espace affine , si on a un point A(x,y,z) et un vecteur ū(a,b,c) , alors , est ce que les coordonnées de point M= A+ ū ( notation de grassman ) sont : (x+a,y+b,c+z)  ?
Merci.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour,

Bonjour, s'ils vous plaît,dans un espace affine , si on a un point A(x,y,z) et un vecteur ū(a,b,c) , alors , est ce que les coordonnées de point M= A+ ū ( notation de grassman ) sont : (x+a,y+b,c+z)  ?
Merci.

Oui.

Roro.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour,

C'est la signification même des coordonnées d'un vecteur : à partir d'un point, les coordonnées de son image par la translation correspondant au vecteur s'obtiennent en sommant les coordonnées du point et du vecteur.

DrStone

Membre

Inscription : 07-01-2024

Messages : 307

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour.

Si on considère $\mathcal{V}_3$ l'ensemble des vecteurs de l'espace, $\mathbf{A_3}$ l'ensemble des points de l'espace ainsi que $\Phi$ une application de $\mathbf{A_3}\times\mathbf{A_3}$ dans $\mathcal{V}_3$ telle que :

1. pour tous points $A$, $B$, $C$ de $\mathbf{A_3}$ : $\Phi(A,B)+\Phi(B,C)=\Phi(A,C)$

2. pour tout point $A$ de $\mathbf{A_3}$ et pour tout vecteur $\vec{v}$ de $\mathcal{V}_3$, l'équation $\Phi(A,M)=\vec{v}$ admet une unique solution $M$ de $\mathbf{A_3}$.

On dit que $(\mathbf{A_3}, \mathcal{V}_3, \Phi)$ est un espace affine associé à l'espace vectoriel $\mathcal{V}_3$.

Bon, alors, pourquoi tout ce baratin tu me diras ? Car on comprend tout de suite ce qu'il se passe avec la propriété 2 qui nous dit en gros, qu'à tous points $A$ et $M$ de $\mathbf{A_3}\times\mathbf{A_3}$ on associe le vecteur $\vec{v}=\Phi(A,M)=\vec{AM}$.
Soit encore, pour un point $A\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}$ et un vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$, il existe un unique point $M=\vec{v}+A=\begin{pmatrix} x+a \\ y+b \\ z+c \\ \end{pmatrix}$.

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Sonnette d'alarme !!!

Bonjour à tous !

Je vous prie de ne pas mélanger les torchons et les serviettes, pardon, les vecteurs et les points ...

Comme le rappelle DrStone, il y a des espaces affines constitués de points, et des espaces vectoriels constitués de vecteurs.
Il est possible de les mettre en relation ... par les couples de points équipollents, on peut associer un vecteur ... etc !

Il se trouve qu'au niveau des coordonnées, on a des relations simples : si $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$, il se trouve que les coordonnées (xu,yu,zu)de $\overrightarrow{u}$ s'expriment en fonction des coordonnées (xa,ya,za) de A et (xb,yb,zb) de B par :

(xu,yu,zu) = (xb,yb,zb) - (xa,ya,za). Ce qui incite à écrire $\overrightarrow{u}$ = B - A ! Ou encore B = A + $\overrightarrow{u}$ !!!

Ce genre de notation entraine un mélange entre les points et les vecteurs ... ce qui n'est pas autorisé !

Ce genre de notation n'est pas enseigné dans le système français.

Il faut donc l'employer en connaissance de cause, à savoir que c'est valable pour les coodonnées (seulement).

Toutefois cet abus d'écriture est autorisé dans certains logiciels ... (pratique ...)

Bonnes réflexions à vous tous, et à Toni.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (10-01-2024 16:20:44)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonsoir,

Une base de l'espace vectoriel directeur étant choisie, il existe un unique point O de l'espace affine tel que $\overrightarrow{OA}$ ait pour coordonnées x,y,z dans cette base.
L'action de $\overrightarrow{u}$ sur le point A est le point B tel que $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{u}$
D'où l'égalité que vous avez donnée en terme de coordonnées.

A.

DrStone

Membre

Inscription : 07-01-2024

Messages : 307

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour Bernard-maths.

Bien entendu, il est évident qu'on ne mélange pas les torchons et les serviettes : c'est pourquoi j'ai tenu à donner une définition correcte d'un espace affine. Il me paraissait alors évident que le sous-entendu, dans ma dernière phrase : il existe un point $O\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$ de $\mathbf{A_3}$ tel que $M=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{OA}$ ; était assez explicite au vu de ce que précédait.

La flemme l'aura en quelque sorte emportée et m'aura fait écrire un léger raccourci ; somme toute pas très grave ici, étant donné qu'on ne s'intéresse bien qu'aux coordonnées (même si risque potentiellement de poser des problèmes plus tard).

Bonne fin de journée à tous.

Tripolis

Membre

Inscription : 16-09-2023

Messages : 6

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Sonnette d'alarme !!!

Bonjour à tous !

Je vous prie de ne pas mélanger les torchons et les serviettes, pardon, les vecteurs et les points ...

Comme le rappelle DrStone, il y a des espaces affines constitués de points, et des espaces vectoriels constitués de vecteurs.
Il est possible de les mettre en relation ... par les couples de points équipollents, on peut associer un vecteur ... etc !

Il se trouve qu'au niveau des coordonnées, on a des relations simples : si $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$, il se trouve que les coordonnées (xu,yu,zu)de $\overrightarrow{u}$ s'expriment en fonction des coordonnées (xa,ya,za) de A et (xb,yb,zb) de B par :

(xu,yu,zu) = (xb,yb,zb) - (xa,ya,za). Ce qui incite à écrire $\overrightarrow{u}$ = B - A ! Ou encore B = A + $\overrightarrow{u}$ !!!

Ce genre de notation entraine un mélange entre les points et les vecteurs ... ce qui n'est pas autorisé !

Ce genre de notation n'est pas enseigné dans le système français.

Il faut donc l'employer en connaissance de cause, à savoir que c'est valable pour les coodonnées (seulement).

Toutefois cet abus d'écriture est autorisé dans certains logiciels ... (pratique ...)

Bonnes réflexions à vous tous, et à Toni.

Bernard-maths

Coucou, à la fac il y a moins de 5 ans cette notation est enseignée est utilisée intensivement, par chez moi.
C'est très commode.
Bonne soirée

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 351

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour,

Des écritures comme $B=A+\overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{u}=B-A$ ou $C=B+D-A$ ou $I=\dfrac{A+B}{2}$, je les utilisais en cours il y a $30$ ans, et pendant plus de $20$ ans, mais dans le supérieur, pas dans le secondaire.
D'autre part, elles s'utilisent couramment en programmation, Matlab ou Python, par exemple.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (11-01-2024 09:42:19)

DrStone

Membre

Inscription : 07-01-2024

Messages : 307

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour.

Après la remarque de Rescassol je me suis permis de vérifier dans certains livres du supérieur un tantinet anciens et effectivement, même si je ne m'en souvenais pas, cette notation était employée.

Voir par exemple dans le Ramis Deschamps Odoux (années 80-90)

ou encore dans le Cagnac Ramis Commeau (années 70)

Dernière modification par DrStone (11-01-2024 12:28:17)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

C'est dommage que ces notations ne soient pas enseignées au secondaire car elle permettent une bien meilleure mémorisation des calculs à effectuer.
Je compte bien les expérimenter dès que possible.

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour à tous !

DrStone : "Etant entendu que le signe + doit être compris ici comme le symbole d'une loi externe sur E ..."

s'agit-il vraiment d'une loi externe ???

Mon but était de tenir compte des structures mathématiques, en ce sens pas d'abus avant le BAC (Borassus ?), et de faire ressortir le côté pratique de cet abus (?) de notation entre points et vecteurs.

Continuez à cogiter ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (11-01-2024 13:35:41)

DrStone

Membre

Inscription : 07-01-2024

Messages : 307

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour Bernard-maths.

Je suis d'accord avec toi. Comme tous abus de notations, celui-ci ne déroge pas à la règle : il est dangereux et il me paraît stupide de l'enseigner avant le bac… même si ça l'est sûrement déjà : après tout de ce que j'ai vu, aucune structure n'existe pour les lycéens d'aujourd'hui ; il s'agit juste de vecteurs et points du plan ou de l'espace, et les deux ont des coordonnées réelles.

Néanmoins, Toni ayant posté sa question dans la catégorie «supérieur», j'imagine que ça devrait aller pour lui ; d'autant que cet abus me parait intelligent (en tout cas, bien plus que d'autres que j'ai pu voir) et pratique tant qu'on reste sur les coordonnées.

Dernière modification par DrStone (11-01-2024 14:17:09)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

C'est dommage que ces notations ne soient pas enseignées au secondaire car elle permettent une bien meilleure mémorisation des calculs à effectuer.
Je compte bien les expérimenter dès que possible.

Je préviendrai donc qu'il s'agit d'un abus à utiliser par commodité pour soi, mais pas sur les copies.  :-)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Comme tous abus de notations, celui-ci ne déroge pas à la règle : il est dangereux et il me paraît stupide de l'enseigner avant le bac…

Pourquoi "dangereux" ? pourquoi "stupide" ?

J'ironise souvent cette frilosité consistant à refuser de faire mention de notions vues en post-Bac pour mieux faire comprendre les notions vues au lycée par la question « Dis, comment on fait les bébés ? ».

J'appelle cela de la rigueur mal placée, alors que je vois en permanence un grand nombre de manques de rigueur !! (Il paraît que c'est rigoureux les maths...)

Dernière modification par Borassus (11-01-2024 14:51:48)

DrStone

Membre

Inscription : 07-01-2024

Messages : 307

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

On m'a enseigné les mathématiques à une époque où on apprenait dès la quatrième des notions que tu n'as vues qu'à partir de la licence (relations binaires, groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels, plan affine, plan euclidien, …). Tout était alors démontré, parfaitement rangé à sa place, ainsi que parfaitement rigoureux. J'ai depuis lors pu observer de loin (avec mes enfants, puis maintenant petits enfants) la déchéance de l'enseignement mathématique français sous couvert de «la rigueur c'est mal, les élèves ne vont pas y arriver» ; puis de «bon, il n'y a plus rien de rigoureux, mais ils n'y arrivent toujours pas… qu'est-ce qu'on supprime encore ?» ; pour en arriver au point où, aujourd'hui, il n'y a plus de mathématiques à l'École. Tout au plus on y trouve de la vulgarisation (mal réalisée) de l'idée que se font les profanes des mathématiques.

Personnellement, ça ne me dérange pas qu'on enseigne des notions "post-bac" au collège ou au lycée… à la condition que ce soit parfaitement rigoureux du début à la fin ; et pas juste une notation dans un coin parce qu'elle fait jolie et plaisir au professeur alors qu'aucun élève n'est armé pour comprendre qu'il s'agit en fait de bijections permettant, par transport de structure, de donner à ton espace affine une structure isomorphe à ton espace vectoriel.

Dernière modification par DrStone (11-01-2024 15:12:16)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

On m'a enseigné les mathématiques à une époque où on apprenait dès la quatrième des notions que tu n'as vues qu'à partir de la licence (relations binaires, groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels, plan affine, plan euclidien, …).

Je me souviens d'un élève de Quatrième me demandant de lui expliquer ce qu'est un endomorphisme involutif... ce que je serais bien en peine d'expliquer maintenant.
Ces "maths modernes", comme on les appelait alors, étaient à mon sens excessives et aberrantes, alors que les gamins ne maîtrisaient pas les fondements "classiques".

Deux exemples de manque de rigueur que je vois régulièrement, parmi beaucoup d'autres (ce serait trop fastidieux d'en dresser un catalogue plus ou moins exhaustif) :

1. On encadre et on met en gras que l'entier [tex]a[/tex] est multiple de l'entier [tex]b[/tex] s'il existe un entier [tex]k[/tex] tel que [tex]a = kb[/tex], le multiplicateur [tex]k[/tex] étant en tête.
   Peu de lignes après, on écrit [tex]21 = 7 \times 3[/tex], donc [tex]21[/tex] est multiple de [tex]7[/tex] !
   Vous n'êtes même pas capables de respecter la logique que vous venez d'encadrer et de mettre en gras !!

2. On présente la formule du développement du binôme de Newton par puissances croissantes de [tex]a[/tex] et tout de suite après on écrit:
   Exemples : [tex](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex] et [tex](a + b)^3 = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex], c'est-à-dire par puissances décroissantes de [tex]a[/tex] !!
   (J'ai même vu mieux : un prof d'un lycée prestigieux de Paris écrire la formule du binôme par puissances croissantes, et la développer par puissances décroissantes !)

Personnellement, ça ne me dérange pas qu'on enseigne des notions "post-bac" au collège ou au lycée…

Avant l'été, j'ai expliqué à une élève de 4ème les principes de base des intégrales simples, des intégrales doubles et des intégrales triples...
En règle générale, je ne respecte pas du tout le tronçonnage des notions par niveaux scolaires : cette année nous étudions pile, l'année prochaine, nous étudierons face.
Tant qu'il n'y a pas rupture conceptuelle, j'ose de plus en plus, et suis à chaque fois étonné de la compréhension.

alors qu'aucun élève n'est armé pour comprendre qu'il s'agit en fait de bijections permettant, par transport de structure, de donner à ton espace affine une structure isomorphe à ton espace vectoriel

Moi non plus !  :-)
(Voir ma courte bio dans mon dernier message de la discussion portant sur la sous-tangente sur l'axe Ox de [tex]e^x[/tex].)

DrStone

Membre

Inscription : 07-01-2024

Messages : 307

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Tout dépend. Il me semble que dans l'optique de l'époque, où seuls 30% des élèves arrivaient au bac, ça ne posait pas trop de soucis : seuls les meilleurs (ce qui n'implique pas forcément qu'il s'agissait à chaque fois de ceux qui le méritaient, malheureusement… les fils et filles à papa pouvant se payer des dizaines d'heures de cours de soutien ça existait déjà à l'époque) arrivaient en CDE pour approfondir ce qu'ils devaient en parti maîtriser. Le reste de la population avait en revanche un niveau bien meilleur qu'aujourd'hui.
Je le vois autour de moi : des amis d'amis (ou des amis de la famille) qui font des métiers manuels (du style maçons ou autres) et n'ont pas été plus loin que la troisième, mais maitrisent les bases, et se plaignent des jeunes (travailleurs) d’aujourd’hui qui sont incapables de trouver le périmètre d'un cercle ou de calculer correctement une surface à carreler pour commander la bonne quantité de carrelage…

Pour tes exemples :

1. Peut-être que le fait d'avoir fait disparaitre le terme «multiplicande» (alors qu'il existe encore le dividende) y est pour quelque chose ?

2. Je ne vois pas le souci, c'est plutôt standard, non ? Moi je le vois aussi comme un développement par puissances croissantes de $b$… or, comme $a$ et $b$ jouent des rôles symétriques, ça ne change rien.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonsoir,

Hé bé, ça vole haut, aujourd'hui...

se plaignent des jeunes (travailleurs) d’aujourd’hui qui sont incapables de trouver le périmètre d'un cercle ou de calculer correctement une surface à carreler pour commander la bonne quantité de carrelage…

Bin oui... Et encore, dans une copie du Brevet, je suis tombé sur cet avertissement - honnête, somme toute - :

Je ne sais pas calculer le périmètre du triangle  équilatéral (on leur donnait la longueur du côté !) : avec mon professeur, nous n'avons pas revu la formule cette année...

Fallait-il en rire ou en pleurer ?
Ah, les sacro-saintes formules : Rabelais avait raison qui disait Science sans conscience n'est que ruine de l'âme...
Ou encore, en 4e : la nature de ce quadrilatère est un triangle...

Maintenant, même retraité depuis un temps certain, ça me gêne encore qu'on n'évoque plus les termes de multiplicande et de multiplicateur... Quand bien même la multiplication est commutative et que 21 = 7 x 3 = 3 x 7, si on veut aboutir à 21 est multiple de 3, effectivement l'écriture 21 = 3 x 7 me dérange (moi, personnellement, non, le prof ou ex-prof, si !) à cause des non-dits...
Et je pense encore que les appellations multiplicande & multiplicateur auraient dû être maintenues, dividende et diviseur l'étant. Dans ce cadre, on devrait encore évoquer l'associativité et la commutativité : je le faisais et m'en servais : ça n'avait jamais dérangé personne...

Borassus, fais attention quand même : (je ne sais pas si ce credo est toujours en vigueur aujourd'hui. En principe oui)...
Mais nos IPR savaient nous répéter : on ne doit pas enseigner à un niveau n+1 quand on est est à un niveau n.. Donc, si on ne respectait pas cette consigne, on flirtait avec la faute professionnelle.
Il faut savoir assurer ses arrières, i. e. être capable de justifier - si tu  passes outre - que la notion de niveau n+1, de la façon dont tu l'as introduite, a une place naturelle à un niveau n, mais ne pas l'inclure dans un contrôle noté (je ne range pas - et ne rangeait pas - les Devoirs Maisons notés dans la colonne contrôle noté.
J'étais Borderline, mais sans remords et avec précaution...
Je crois qu'il ne faut pas avoir peur de ces notions n+1 (qui ne sont de ce niveau que parce que virées des programmes dans la dernière ou avant-dernière réforme...).

Je trouve moi aussi qu'on a (ça date pas mal...) une tendance persistante, et donc fâcheuse, dans les programmes qui se se sont succédé à éviter de conserver toute notion qui risque d'être considérée par les élèves comme difficiles à comprendre et à utiliser...

En Math Elem, j'avais 9 h de maths et 5 h 1/2 de Physique-Chimie par semaine, il y avait 39 élèves dans ma classe : aucun n'avait été victime d'une overdose et pourtant les différents volumes couvrant le programme composaient un menu assez copieux...

@+

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonsoir

Pour enfoncer le clou on peut parler aussi d'intégrande en théorie de l'intégration, et sa version réduite de sommande
(terme inconnu de moi jusqu'à hier) vis à vis des familles sommables.
Sinon quand mon prof en terminale C de façon épisodique
évoquait des notions plus profondes que le cours proprement dit, je reconnais que ça piquait ma curiosité et me donnait du coeur pour percevoir des paysages harmonieux méconnus.
Bref pas de regret, au contraire.
Le goût viendrait-il en goûtant ?
Certes c'est en forgeant qu'...., encore faut-il avoir envie de manier le marteau et l'enclume...

A.

DrStone

Membre

Inscription : 07-01-2024

Messages : 307

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonsoir yoshi.

Ah, les sacro-saintes formules : Rabelais avait raison qui disait Science sans conscience n'est que ruine de l'âme...
Ou encore, en 4e : la nature de ce quadrilatère est un triangle...

C'est, selon moi, là où les décriées mathématiques modernes avaient vu juste : restreindre, chaque année, l'enseignement à un petit sous-ensemble de notions théoriques (6ème: ensembles, relations applications, entiers… ; 5ème: relations binaires, entiers relatifs, arithmétique… ; 4ème: groupes, nombres décimaux, géométrie affine (qui ne disait pas son nom), …), revues et approfondies à chaque fois, avec pas mal de mise en pratique (longueur d'un segment, aires sur un quadrillage, repérage sur le plan, puissances, …).
Par exemple, les relations n'étaient pas vu mathématiquement en sixième mais plutôt concrétisées avec des relations comme "… joue la scène … de la pièce Roméo et Juliette" ou encore "… est né le même jour de la semaine que …"
Dans le même genre on voyait dès la sixième la commutativité, l'associativité et la distributivité sur de petits ensembles et de petits nombres entiers, ce qui permettait par exemple d'arriver en quatrième et de pouvoir justifier aisément pourquoi les identités usuelles se développent comme ça et pas autrement (à coup de justification de chaque ligne : "…=… parce que la multiplication est distributive sur l'addition" ; "…=… parce que l'addition est associative", etc).

Malheureusement, les concepteurs de ces programmes ont voulu aller trop loin en n'écoutant pas les complaintes des professeurs, parents d'élèves et autres acteurs de la société civile. On s'est donc retrouvé avec des programmes de quatrième et troisième qui devenaient rapidement incompréhensibles pour l'élève moyen (je me souviens avoir eu beaucoup de mal à assimiler la géométrie en quatrième et en troisième : ce n'est qu'en terminale que j'ai pu reprendre mes livres de collège et les apprécier pleinement). Ça s'est retourné contre eux et les mathématiques modernes ont depuis lors disparu ; alors que si l'ambition ne l'avait pas emporté il aurait été possible de remanier, de génération en génération, ce programme pour le rendre plus accessible (en retirant un point compliqué par là mais en le remplaçant par une notion plus simple autre part permettant une meilleure assimilation d'une autre notion…). À la place ; on a fait table rase. C'est dommage.

Dernière modification par DrStone (11-01-2024 21:34:07)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonsoir, Hé bé, ça vole haut, aujourd'hui...

Fichtre, quel débat ! Les étudiants qui nous lisent — car nous sommes dans le forum "Supérieur", n'est-ce pas ? :-) — doivent avoir l'impression de voir d'en bas un vol d'oies sauvages, là-haut dans le ciel.  :-)

En Math Elem

"Maths Elem" quel doux son, faisant partie des antiquités oubliées d'ici quelques années, quand notre génération aura disparu.  :-)

Pour expliquer à mes élèves que la commutativité du produit et de la somme ne porte que sur le résultat du calcul et non sur la logique du calcul, j'utilise deux exemples :

- « Tu as 100 euros dans ta tirelire. Ta mamie t'offre (généreusement) 5 euros. Comme tu es bien élevé(e), tu dis « Merci Mamie ». (Ce que tu penses de la pingrerie de ta grand-mère t'appartient.)
Maintenant, il ne te reste plus que 5 euros dans ta tirelire. Ta Mamie t'offre 100 euros. Là, ton ton change complètement : « Merciii Mamiie !! »

- Vous chahutez en classe, malgré les avertissements de plus en plus énervés de votre prof. Bing ! Interro surprise !
Quelle différence y a-t-il entre 3 fois 18 et 18 fois 3 ?
Les élèves comprennent immédiatement : 3 fois 18 signifie que trois élèves ont eu 18, ce qui n'a rien d'exceptionnel ; alors que 18 fois 3  signifie que 18 élèves, soit la moitié de la classe, se sont bananés avec 3 !!

Ah, les sacro-saintes formules

Ce qui est grave, ce n'est pas tant les formules que l'incompréhension de la logique de ces formules.

J'ai eu l'année dernière une réponse très révélatrice d'un élève de Terminale — je ne donne que des cours particuliers depuis douze ans, et ne suis donc pas soumis à inspection :-) — : je lui demandais comment il développe [tex](a + b + c)^2[/tex].
« Ben, j'écris [tex](a + b + c)(a + b + c)[/tex] et je développe. »
Lorsque j'écris à mes élèves [tex](a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab[/tex], il comprennent tout de suite qu'il faut d'abord sommer les carrés puis les termes 2 fois le produit de deux termes différents. Et savent tout de suite développer [tex](a + b + c)^2[/tex], [tex](a + b + c + d)^2[/tex], etc.

quand mon prof en terminale C de façon épisodique évoquait des notions plus profondes que le cours proprement dit, je reconnais que ça piquait ma curiosité et me donnait du coeur pour percevoir des paysages harmonieux méconnus.

Oui !!
C'est fondamental, la curiosité ! Elle a été le moteur d'une grande partie des compréhensions acquises par l'Humanité : pourquoi tel phénomène observé ? qu'y a-t-il au-delà de cette montagne ? de cette mer ? que se passe-t-il si j'essaie telle action ?........
Sans la curiosité, nous ne serions absolument pas arrivés à notre niveau technique et scientifique.

Malheureusement, on n'incite pas les élèves à être curieux.
Je le vois régulièrement dans l'énoncé des exercices.
Pas plus tard qu'hier soir, j'expliquais à un élève de Terminale la résolution d'un exercice demandant de déterminer la tangente commune à deux courbes. L'exercice ne demandait rien de plus.
J'ai alors voulu déterminer les coordonnées des deux points de tangence, tout simplement parce que cela fait partie de la curiosité que j'estime naturelle. Je me suis rendu compte que les ordonnées de ces deux points sont opposées. Tiens ? Les points seraient-ils symétriques ? En calculant la moyenne des abscisses, j'ai compris que les deux points de tangence sont effectivement symétriques par rapport à un centre de symétrie (-1/2, 0).
Etape de curiosité suivante : les deux courbes sont-elles elles aussi symétriques ? Calculs faits, oui elles le sont ! Et tout cela, l'exercice ne voit pas plus loin que son nez, et surtout ne fait pas voir plus loin que son nez !
L'élève ne comprenait absolument pas ma jubilation d'avoir découvert, du fait de ma seule curiosité, cette symétrie : « Qu'est-ce que cela m'apporte de savoir que les deux courbes sont symétriques ? »

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour

@Borassus:

Je ne connais pas en détail votre exercice, mais j'imagine qu'il pouvait par extension déboucher sur de bonnes perspectives, et faire toucher du doigt à votre élève plusieurs notions que l'on retrouve tout le temps en logique, et en analyse:

- condition suffisante: si la fonction dérivable en question est symétrique localement vis à vis d'un point appartenant à une tangente ("point milieu" pivotant le comportement de la fonction au voisinage des deux points de tangence))
- condition encore plus suffisante: la fonction est carrément symétrique globalement par rapport à ce point (qui peut le plus peut le moins): c'est le cas si j'ai bien compris...
- examiner des contre-exemples pour voir que la condition n'est pas nécessaire (fonctions paires avec des tangentes horizontales... ou questions analogues par translations horizontales)
- examiner la possibilité de plusieurs tangentes éventuelles répondant à la question
- etc

En gros c'est ce genre d'approches qu'adoptait mon prof, de façon à ouvrir la voie à des questions multiples gravitant autour d'un thème bien ciblé.
C'est vrai que les notions afférentes ne sont pas toujours acquises ( ni/ou assimilées ) par l'étudiant (vues plus tard dans le programme etc), mais une mini-tempête intellectuelle, quand ce n'est pas une tornade, peut en motiver plus d'un... Et un bon coup de vent dégage souvent les avenues, en balayant du même coup des idées parasites.

Bonne journée

A.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour bridgslam (et à tous ceux qui suivent cette passionnante discussion),

En gros c'est ce genre d'approches qu'adoptait mon prof, de façon à ouvrir la voie à des questions multiples gravitant autour d'un thème bien ciblé. [...] mais une mini-tempête intellectuelle, quand ce n'est pas une tornade, peut en motiver plus d'un... Et un bon coup de vent dégage souvent les avenues, en balayant du même coup des idées parasites.

Oh que vous me parlez d'or !
C'est cette démarche, peut-être pas aussi étendue en termes de logique et d'analyse, que je préconise à mes élèves face à un exercice : allez toujours chercher au-delà de l'énoncé de l'exercice !!

Par ce que je peux voir par les innombrables exercices de manuel — j'acquiers systématiquement les manuels de mes élèves ; j'ai sur mes étagères une petite fortune — de contrôle et de DM, l'immense majorité des exercices se termine pour les élèves par « Oui, ET ??? » laissant les élèves aussi perplexes face à l'exercice qu'une poule ayant trouvé un couteau, et donc n'apporte pas matière à observation, à déduction et à généralisation.

Cette non incitation à voir plus loin que le bout du nez de l'exercice entraîne tout un enfumage — au sens de celui des apiculteurs avant d'intervenir sur une ruche — de l'esprit.

Dans une vie antérieure, j'ai été pendant trente années rédacteur technique indépendant — j'expliquais avec une démarche pédagogique toujours soignée l'utilisation de systèmes, logiciels, machines... complexes destinés à des utilisations professionnelles.
Lorsque, intrigué par une spécificité que je ne comprenais pas, je demandais à mon interlocuteur, souvent un jeune ingénieur, la raison de celle-ci, je me voyais répondre « Je ne sais pas, je ne me suis jamais posé la question. J'ai appris à l'Ecole que c'était comme cela, et j'ai retrouvé le même raisonnement ici. »
En creusant, nous nous rendions compte que la question méritait d'être approfondie.

Les deux fonctions [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] en question sont définies par [tex]f(x) = e^x[/tex] et [tex]g(x) = -e^{-x - 1}[/tex].

En me rendant compte de la symétrie de ces deux fonctions par rapport au point [tex](-\frac{1}{2} , 0)[/tex], j'ai expliqué à mon élève comment vérifier que deux fonctions sont symétriques par rapport à un centre présumé [tex]C(\alpha, \beta)[/tex].

Bonne journée également.
B.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour,

Ce débat serait peut-être plus adapté dans le Café Mathématique...
Je vais y réfléchir.

    Ah, les sacro-saintes formules

Ce qui est grave, ce n'est pas tant les formules que l'incompréhension de la logique de ces formules.

Pour expliciter ma pensée, tu rejoins probablement ce que j'ai voulu dire : pour beaucoup trop, un chapitre de maths se résume à apprendre quelques formules par cœur, et le(s) manuels assimilés à un (ou plusieurs) livre(s) de recettes de cuisine, pardon, de formules...
Ça a toujours eu le don de m'agacer prodigieusement : en amont de la formule de la formule, il y a un raisonnement, qui s'il est compris, peut faciliter l'emploi de la formule, rend capable de la retrouver si besoin est : j'en sais quelque chose...
Je refusais d'apprendre les formules par cœur, mais je les savais par cœur (en 37 ans de carrière, j'ai toujours fait le distinguo entre apprendre et savoir) et les raisonnements y conduisant étaient compris et intégrés (tiens, au passage, Bridgslam, je ne connaissais pas le mot "Intégrande") et savais les reconstruire...
Et cette incompréhension commence tôt : dès la 6e ! Et donc, comment cela pourrait-il s'arranger par la suite ? Même le sens "profond" des opérations telle la division, voire la multiplication passe à cent coudées au-dessus de leur tête.
Combien n'en ai-je pas surpris dans la résolution de ce simple exercice :
Une classe de 27 élèves est partagée en 2 groupes dont l'un comprend 5 élèves de plus que l'autre. Combien d'élèves comprend chaque groupe ?
Réponse classique que je refusais :

27 / 2 =13,5
5/2 = 2,5
13,5+2,5 = 16
13,5-2,5 = 11
Les 2 groupes comprennent 16 et 11 élèves.

au motif que, dans cet exercice, la division était illégale, qu'ils n'avaient pas le droit de la faire, même si le résultat était était exact.
Je me demande d'ailleurs, en écrivant ces lignes, comment procéderait ChatGpt...

Ce qui m'amène à un autre questionnement :
hors emploi (presque) indispensable (cas de la Trigonométrie ou des logs et autres exponentielles), que feraient 60 % des élèves de Tle avec spé maths, sans leur calculatrice ?
Bon, nous en Math Elem, on utilisait un succédané : les Tables de valeurs numériques Laborde que j'ai conservées soigneusement...

Développement de $(a+b)^3$
Il me semble logique de ne pas développer de façon un peu "fantaisiste" :
le premier terme étant $a$, il me semble logique en effet de commencer par $a^3$ et de donner les termes suivants selon les puissances décroissantes de a, qui sont les puissances croissantes de b.
A ne pas le faire, ne risque-t-on pas d'accréditer l'idée chez certains que $a$ et $b$ sont "interchangeables" et donc que $(a-b)^3$ et $(b-a)^3$, c'est "la même chose" ? il en faut déjà tellement peu pour les déstabiliser...

Oui aussi pour la curiosité : c'est l'envie d'en savoir plus d'ouvrir les portes encore fermées.
Je professais, à mon niveau, que faire des maths c'était utiliser de façon intensive les 3 verbes observer, comparer, déduire...
Ainsi devant la recherche d'une factorisation de polynômes, un élève pourrait très bien se dire : 
peut-on diviser des polynômes  ? Si oui, si je connais un des facteurs cherché, pourquoi ne pas utiliser cette division ?... ce qui impliquerait quand même qu'il maîtrise la technique de la division tout court.
là encore des calculatrices maintenant sont en capacité d'effectuer du calcul formel (il me semble avoir lu que la philosophie des programmes actuels est de "libérer" les élèves de ces tâches mécaniques pour les confier aux machines...

Il y aurait encore tant à dire : a-t-on, parmi les penseurs qui président à l'élaboration des programmes, pris conscience que si on ne réagit pas, le niveau global va continuer à descendre ?
Je me demande si le passage des 9 h hebdomadaires de Maths aux 5 h 30 actuels n'a pas été dicté par une volonté d'économie : on ne peut pas faire tenir le contenu de 9 h en 5 h 30, on commence par supprimer des pans de programme et ainsi on peut ne plus attribuer que 5 h 30.
Si devais lister, dans un premier temps, ce qui a disparu des programmes de Collège depuis l'abandon des Maths modernes pour repasser aux Maths "classiques", l'énumération serait looongue...
Borassus, puisque tu as vécu l'épisode des "Maths modernes", te souviens-tu qu'en 4e les élèves avaient au programme les... Barycentres ?

@+

[EDIT]
Je rejoins Bernard-Maths. Cette notation me dérange aussi...
Dans le cas de translation de vecteur $\overrightarrow{V}(a,b,c)$ le translaté de $M (x_M, y_M,z_M)$ étant par définition le point $N(x_N, y_N,z_N)$ tel que $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{V}$, il aisé de déduire que $(x_N-x_M, y_N-y_M,z_N-z_M)=(a,b,c)$
et de là :
$\begin{cases}y_N&=a+x_M\\
y_N&=b+y_M\\
z_N&=c+z_M
\end{cases}$
alors en quoi, la notation nouvelle (pour moi) présentée est-elle un progrès par rapport à ce que j'ai fait ci-dessus ?

Dernière modification par yoshi (12-01-2024 12:43:58)