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siham

Invité

la continuité d'une fonction

bonjour tout le monde je voudrais que vous m'aiderez à trouver une réponse à ma question
est ce chaque fonction croissante est continue et dérivable ?
et si on a deux fonctions f et g telles que f est inférieure à g est ce qu'on peut déduire que leurs fonctions dérivées ont la meme position que f et g c-à-d f' inférieure à g' ?? et merci d'avance .

Borassus

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Re : la continuité d'une fonction

Bonjour Siham,

Je perçois quelques confusions !

Première question : une fonction peut être croissante et non dérivable. Exemple type : fonction définie par morceaux, conçue pour être continue aux "raccords", mais avec des pentes différentes de part et d'autre des raccords.

Deuxième question : par exemple la fonction f peut croître fortement, alors que la fonction g peut croître lentement. Dans ce cas, f' est supérieure à g', alors que f est inférieure à g.

Borassus

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Re : la continuité d'une fonction

f' est inférieure à g' si g croît plus rapidement que f, ou si f décroît.

lauryfriese

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Re : la continuité d'une fonction

Bonjour !

1. Est-ce que chaque fonction croissante est continue et dérivable ?
Non, chaque fonction croissante n'est pas nécessairement continue et dérivable. Une fonction peut être croissante, mais elle peut avoir des discontinuités, c'est-à-dire des points où la fonction présente des sauts ou des trous. De plus, une fonction peut être croissante mais ne pas être dérivable en certains points, par exemple, si elle présente des angles vifs ou des points de rebroussement.

2. Si f est inférieure à g, est-ce que leurs fonctions dérivées ont la même position que f et g, c'est-à-dire f' inférieure à g' ?
Non, on ne peut pas déduire que les fonctions dérivées ont la même position que f et g, c'est-à-dire que f' est inférieure à g'. L'ordre des fonctions f et g ne détermine pas l'ordre de leurs dérivées f' et g'. Les dérivées peuvent avoir des propriétés différentes de celles des fonctions d'origine. Par exemple, il est possible que f soit inférieure à g, mais que f' soit supérieure à g' pour certains points ou intervalles.

[Edit Fred : message modifié, pas de publicité cachée svp]

Dernière modification par lauryfriese (05-01-2024 08:35:18)

bridgslam

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Re : la continuité d'une fonction

Bonjour,

Pour la seconde question si f est par exemple x -> 1/x et g = - f  sur $\mathbb{R}_+^*$  que pouvez-vous dire de la position des fonctions dérivées respectives ?
Pour la première, il y a une foule de contre-exemples ( fonctions en escaliers, étagées, ... croissantes) , dans la vie de tous les jours si un escalier (euh qui monte
sauf erreur dans un sens ) n'avait pas de discontinuité, la vie se cantonnerait au rez-de-chaussée...

Par-contre les fonctions monotones sur un intervalle [a,b]  possèdent une quantité au plus dénombrable de discontinuités (avec des limites à droite et/ou à gauche de surcroît, donc de "bonnes" discontinuités si on peut dire  ), et font parties de la famille des fonctions réglées.

A.