Forum de mathématiques - Bibm@th.net

keppet23

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probabilité niveau master 1

Yo salut tout le monde je suis nouveau sur le forum :)

Pour mon bapteme du feu j'aurai une première question, est ce que quelqu'un peut illustrer et par la meme occasion illustrer par un exemple simple la notion de tribu engendré par une variable aléatoire, je pense que j'ai du mal a saisir.

Merci a vous pour vos futurs réponses!

bridgslam

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Re : probabilité niveau master 1

Salut

C'est la sous-tribu des évènements tels que leur image par la variable aléatoire soit dans un borélien.
Autrement dit la tribu des images réciproques des boréliens.

Bienvenue au club!

A.

keppet23

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Re : probabilité niveau master 1

Salut!

Merci pour ta réponse! mais si je prend un cas tel que X variable aléatoire qui prend comme valeur 1 ou 2 ou 3... jusqu'a 6 (faces d'un dé) ca serait quoi la tribu engendré par X ?

Merci pour la réponse et tres content d'avoir rejoins le club! :)

bridgslam

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Re : probabilité niveau master 1

Bonsoir,

Cela dépend essentiellement du jeu ( donc des événements considérés) mais si c'est juste lancer un dé, la tribu engendrée sera ici l'ensemble des parties de {1,2,...,6}.
Là elle coïncide avec la tribu globale.

A

Glozi

Invité

Re : probabilité niveau master 1

Bonsoir,
J'ai eu du mal à comprendre le concept, je vais quitter le monde formel pour une approche un peu plus intuitive :

Disons que tu as de l'aléatoire modélisé dans un espace de proba $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$, tu as des observables (des variables aléatoires, disons réelles pour du concret) $X_i : (\Omega, \mathcal{A})\to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ que tu "observes" (ie tu ne connais pas forcément $\omega$ mais tu as accès à un résultat macroscopique via la valeur de $X_i(\omega)$). Avant d'observer les observables, tu peux te poser des questions à leur sujet : est-ce que $X_1<X_2$ (c'est un évènement $\{X_1<X_2\}=\{\omega \in \Omega, X_1(\omega)<X_2(\omega)\}$ ou alors est-ce que $X_1+X_2<10$ (c'est aussi un évènement $\{X_1+X_2<10\}$).

La tribu engendrée par une (ou plusieurs) variables aléatoires, c'est l'ensemble de ces questions (reformulées en tant qu'évènements) auxquelles tu sais que tu obtiendras la réponse une fois que tu auras constaté le résultat de cette (ou de ces) variables aléatoires.

Ex : si les $X_i$ sont des dés indépendants. Alors $\{X_1<X_2\}$ n'est pas un élément ni de $\sigma(X_1)$ ni de $\sigma(X_2)$ mais de $\sigma(X_1,X_2)$ (et aussi de $\sigma(X_1,X_2,X_3)$ et, un peu plus subtil, de $\sigma(X_2-X_1)$). En effet, si je te donne juste la valeur de $X_1$ tu ne peux pas me dire a priori si $X_1<X_2$, de même si je te donne uniquement la valeur de $X_2$, en revanche si je te donne la valeur de $X_1$ et de $X_2$ alors tu pourras me dire si $X_1<X_2$.
Ex : L'évènement $\{X_1 \text{ et }X_2 \text{ ont la même parité}\}$ est un élément de $\sigma(X_1+X_2)$ qui est strictement incluse dans $\sigma(X_1,X_2)$.

Bref, voir une tribu comme l'ensemble de l'information que t'apporte la connaissance du résultat d'une variable aléatoire ça permet de mettre de l'intuition sur un objet assez formel et c'est assez utile si tu vois un jour la notion d'espérance conditionnelle.

Bonne nuit

bridgslam

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Re : probabilité niveau master 1

Bonjour,

Comme il y a autant de boréliens dans $\mathbb{R}$ que d'éléments dans $\mathbb{R}$, autrement dit $\aleph_1$, pour trouver un exemple de tribu engendrée par une variable aléatoire strictement incluse dans la tribu de l'univers, il suffit d'exhiber un univers probablisé dont la tribu a un cardinal  $\aleph_2$ pour être sûr de la chose, donc déjà un univers assez maous. Mais rien n'empêche que cela existe.

▼pour toute variable aléatoire X

Soit un univers probabilisé $(\Omega, \mathcal{B},p)$ , X une variable aléatoire.
On $card \{ X^{-1}(Y), Y \in  B(\mathbb{R}) \} \le \aleph_1 $.
Donc si  $Card(\mathcal{B}) = \aleph_2 $ nécessairement il existe un évènement distinct de $X^{-1}(Y), \forall Y \in B(\mathbb{R}) $

A.

Dernière modification par bridgslam (31-12-2023 12:34:09)

bridgslam

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Re : probabilité niveau master 1

Bonjour,

Ayant l'impression de ne pas avoir été très clair, je vais essayer de préciser:
C'est l'ensemble minimum des observables (nécessaires et suffisants ) pour travailler juste avec la variable aléatoire.
Il y en a pleins d'inutiles dans la tribu de départ si on ne travaille que sur cette variable aléatoire.

A.