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#1 29-12-2023 10:50:44
- Ossekour
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Produit semi-direct externe et formes quadratiques
Bonjour à tous,
Je m'attaque à un livre sur les formes quadratiques en autodidacte (après être passé par la case MPSI-MP, puis école d'ingé en méca flu), et je n'arrive pas à trouver la dernière question de l'exercice. Pourriez-vous s'il vous plaît m'aider ?
Voici l'énoncé :
Soit [tex]\mathbb{K}[/tex] un corps de caractéristique différente de 2, et soit [tex]E[/tex] un [tex]\mathbb{K}[/tex]-espace vectoriel de dimension finie. Soit [tex]q[/tex] une forme quadratique sur [tex]E[/tex]. On note [tex]F[/tex] un supplémentaire de [tex]Ker(q)[/tex] dans [tex]E[/tex] (la notion d'orthogonal n'a pas été encore introduite).
1. Montrer que [tex]Ker(q)[/tex] est stable par [tex]u \in O(q)[/tex] où [tex]O(q)[/tex] désigne l'ensemble des automorphismes orthogonaux de [tex]E[/tex].
2. Soit [tex]\pi : O(q) \rightarrow GL(Ker(q))[/tex] l'application définie par [tex]\pi(u)=u_{|Ker(q)}[/tex] (restriction de [tex]u[/tex] à [tex]Ker(q)[/tex]). Montrer que [tex]\pi[/tex] est un morphisme de groupes surjectif.
3. Préciser une section [tex]s[/tex] de [tex]\pi[/tex] et en déduire que [tex]O(q)[/tex] est isomorphe au produit semi-direct externe [tex]Ker(\pi) \rtimes GL(Ker(q))[/tex].
4. Montrer que, si [tex]q[/tex] est dégénérée, alors [tex]\mbox{det} : O(q) \rightarrow \mathbb{K}^{\star}[/tex] est surjective.
1. C'est une simple vérification.
2. Je me suis appuyé sur la décomposition unique dans [tex]E=\mbox{Ker}(q) \oplus F[/tex] pour poser, pour tout [tex]v \in GL(Ker(q))[/tex], l'application [tex]u : x=x_q+x_f \mapsto v(x_q) \mbox{ si } x \in \mbox{Ker}(q), x_f \mbox{ sinon. }[/tex], de sorte que [tex]v=\pi(u)[/tex], et [tex]u \in O(q)[/tex] ce qui montre la surjectivité.
3. On est en présence d'une suite courte scindée de groupes : [tex]\mbox{Ker}(\pi) \hookrightarrow O(q) \twoheadrightarrow GL(\mbox{Ker}(q))[/tex], donc par théorème, [tex]O(q)[/tex] est produit semi-direct interne de [tex]i(\mbox{Ker}(\pi))[/tex] par [tex]s(\mbox{GL}(\mbox{Ker}(q))[/tex] où [tex]i[/tex] est l'injection canonique [tex]\mbox{Ker}(\pi) \hookrightarrow O(q)[/tex] et [tex]s=\mbox{Id}_{Ker(q)}[/tex], et [tex]O(q)[/tex] est isomorphe au produit semi-direct externe [tex]Ker(\pi) \rtimes GL(Ker(q))[/tex].
Pour la question 4, je bloque. J'ai compris ce que je dois montrer : pour tout [tex]x \in \mathbb{K}^{\star}[/tex], on peut construire [tex]u \in O(q)[/tex] tel que [tex]\mbox{det}(u)=x[/tex]. J'imagine qu'il faut utiliser la question 3 et se ramener au produit semi-direct externe, mais je n'ai jamais vu une telle méthode à l'œuvre. Enfin, comme le résultat est faux dans le cas où [tex]q[/tex] est non dégénérée : [tex]\forall u \in O(q), \mbox{det}(u) = \pm 1[/tex], il faut utiliser le fait que [tex]q[/tex] est dégénérée, c'est-à-dire l'existence de [tex]v \in E \backslash \{ 0_E \}, \forall y \in E, b(v,y)=0[/tex] où [tex]b[/tex] est la forme polaire de [tex]q[/tex]. J'ai aussi essayé de travailler avec des réflexions orthogonales (d'un espace quadratique), en vain. Des idées et/ou conseils pour me débloquer ?
Merci pour votre attention, et bonne journée :)
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#2 30-12-2023 17:34:08
- Michel Coste
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Re : Produit semi-direct externe et formes quadratiques
Bonjour,
Tu peux utiliser la construction que tu as faite pour la question 3.
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#3 31-12-2023 09:26:21
- Ossekour
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Re : Produit semi-direct externe et formes quadratiques
Bonjour,
Merci pour votre réponse. Justement, je me demande dans quel sens je dois utiliser cette construction (je n'ai jamais vu une telle méthode à l'œuvre) ? Est-ce que le fait que [tex]O(q)[/tex] est produit semi-direct interne de [tex]i(Ker(\pi))[/tex] et [tex]s(GL(Ker(q))[/tex] m'autorise à écrire tout [tex]u \in O(q)[/tex] comme la composée d'un élément de [tex]Ker(\pi)[/tex] et [tex]GL(Ker(q)[/tex] ?
Merci.
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#4 31-12-2023 12:55:15
- Michel Coste
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Re : Produit semi-direct externe et formes quadratiques
Pas de $\mathrm{GL}(\ker(q))$, mais de son image dans $G$ par la section $s$ que tu as construite à la question 3.
Si $v\in \mathrm{GL}(\ker(q))$, comment se comparent $\det(v)$ et $\det(s(v))$ ?
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#5 31-12-2023 16:06:04
- Ossekour
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Re : Produit semi-direct externe et formes quadratiques
Je crois avoir compris grâce à vos indications : tout [tex]u \in O(q)[/tex] peut être écrit : [tex]u=i(k)s(v)[/tex] avec [tex]k \in \mbox{Ker}(\pi)[/tex] et [tex]v \in GL(\mbox{Ker}(q))[/tex], et [tex]i=\mbox{Id}_{Ker(\pi)}[/tex] et [tex]s=\mbox{Id}_{GL(Ker(q))}[/tex] ?
Soit [tex]u \in O(q)[/tex]. On a aussi l'écriture [tex]u=i(k)s(v)[/tex] avec [tex]k \in \mbox{Ker}(\pi)[/tex] et [tex]v \in GL(\mbox{Ker}(q))[/tex]. En appliquant le déterminant, on obtient : [tex]\mbox{det}(u)=\mbox{det}(k)\mbox{det}(v)[/tex] puisque [tex]\mbox{det}(s(v))=\mbox{det}(v)[/tex] car [tex]s[/tex] est l'identité sur [tex]\mbox{Ker}(q)[/tex].
De plus, [tex]\mbox{det}(v) \in \mathbb{K}^{\star}[/tex] puisque [tex]v[/tex] est inversible dans [tex]\mbox{Ker}(q)[/tex]. Enfin, [tex]k \in \mbox{Ker}(\pi)[/tex] signifie que [tex]k=\mbox{Id}_{Ker(q)}[/tex], et donc [tex]\mbox{det}(k)=1[/tex].
On trouve finalement [tex] \mbox{det}(u)=\mbox{det}(v) \in \mathbb{K}^{\star} [/tex].
On se ramène donc à montrer que [tex]\mbox{det} : GL(\mbox{Ker}(q)) \rightarrow \mathbb{K}^{\star}[/tex] est surjective. Pouvez-vous me confirmer que c'est immédiat parce que [tex]\mbox{Ker}(q) \neq \{ 0_E \}[/tex] puisque [tex]q[/tex] est supposée dégénérée ou il y a encore des choses à montrer ?
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#6 31-12-2023 16:29:29
- bridgslam
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Re : Produit semi-direct externe et formes quadratiques
Bonjour,
Pour moi Ker( q) étant de dimension finie non nulle p si on prend $f_{\lambda}$ dont la restriction sur $vect( e_i), i =2,...p$ est l'identité et qui est l'homothétie de rapport $\lambda$ non nul sur $Vect(e_1) $ alors $det (f_{\lambda} ) = \lambda$ .
A.
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#8 31-12-2023 17:28:11
- bridgslam
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Re : Produit semi-direct externe et formes quadratiques
Bonjour,
De rien: Michel et vous avez fait l'essentiel... et je suis venu après la bataille.
Bonne soirée
A.
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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