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Lune66

Invité

Représentation adjointe d'un groupe de Lie.

Bonsoir à tous,

Soient [tex]G[/tex] un groupe de Lie réel, et [tex]T_e G[/tex] l’espace tangente à [tex]G[/tex] en son élément neutre [tex]e[/tex].
Pour tout [tex]g[/tex] dans [tex]G[/tex], rappelons que la conjugaison par [tex]g[/tex] est l'isomorphisme de groupes de Lie [tex]i_g \ : \ G \to G[/tex] défini par, [tex]i_g \ : \ x \to gxg^{-1}[/tex].
Notons [tex]Ad \ g = T_e i_g \ : \ T_e G \to T_e G[/tex] l'application tangente de [tex]i_g[/tex] en [tex]e[/tex].
Pouvez vous me dire comment fait-t-on pour trouver par le calcul que, [tex](Ad \ g) (x) = gxg^{-1}[/tex] pour tout [tex]g \in G[/tex] ?

Merci d'avance.

Michel Coste

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Re : Représentation adjointe d'un groupe de Lie.

Bonjour,
Ton $G$ est un groupe matriciel ? Sinon, quel sens donnes-tu à $gxg^{-1}$ ?

Lune66

Invité

Re : Représentation adjointe d'un groupe de Lie.

Bonsoir Michel,

Oui, [tex]G = \mathrm{GL}_n ( \mathbb{R} )[/tex]. :-)

Lune66

Invité

Re : Représentation adjointe d'un groupe de Lie.

Bonsoir Michel,
Oui, [tex]G = \mathrm{GL}_n ( \mathbb{R} )[/tex]. :-)

Si [tex]G = \mathrm{GL}_n ( \mathbb{R} )[/tex], alors, [tex] T_{ \mathrm{id} } G = \mathcal{M}_n ( \mathbb{R} )[/tex]
Comme [tex]G = \mathrm{GL}_n ( \mathbb{R} )[/tex] est un ouvert de [tex]\mathcal{M}_n ( \mathbb{R} )[/tex], on a,
[tex]\forall g \in G = \mathrm{GL}_n ( \mathbb{R} )[/tex], [tex]i_g \ : \ \mathrm{GL}_n ( \mathbb{R} ) \to \mathrm{GL}_n ( \mathbb{R} )[/tex] est la restriction à [tex]\mathrm{GL}_n ( \mathbb{R} )[/tex] de l'application linéaire [tex]X \to gXg^{-1}[/tex] de [tex]\mathcal{M}_n ( \mathbb{R} )[/tex] dans [tex]\mathcal{M}_n ( \mathbb{R} )[/tex].

Lune66

Invité

Re : Représentation adjointe d'un groupe de Lie.

@Michel,
Pourquoi s'il vous plaît, par le calcul, [tex]Ad(X) = gXg^{-1}[/tex] pour tout, [tex](g,X) \in \mathrm{GL}_n ( \mathbb{R} ) \times \mathcal{M}_n ( \mathbb{R} )[/tex] ?

Lune66

Invité

Re : Représentation adjointe d'un groupe de Lie.

@Michel,
Pourquoi s'il vous plaît, par le calcul, [tex]( Ad \ g )(X) = gXg^{-1}[/tex] pour tout, [tex](g,X) \in \mathrm{GL}_n ( \mathbb{R} ) \times \mathcal{M}_n ( \mathbb{R} )[/tex] ?

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Représentation adjointe d'un groupe de Lie.

Reviens à la définition de l'applicaio linéaire tangente.

Lune66

Invité

Re : Représentation adjointe d'un groupe de Lie.

L'application tangente est définie par, [tex]T_x f ( c'(0) ) = ( f \circ c ) ' (0)[/tex] où, [tex]c(0) = x[/tex].

Lune66

Invité

Re : Représentation adjointe d'un groupe de Lie.

Donc, [tex]( Ad \ g ) (X) = T_{ \mathbb{id} } \ i_g (X) = ( i_g \circ c ) ' (0) =(  i_g ) ' (c (0)) c'(0) = i_g ( \mathrm{id} ) (X) = (g \mathrm{id} g^{-1} ) (X) = g \mathrm{id} (X) g^{-1} = gXg^{-1}[/tex].
car, [tex]( i_g )' = i_g[/tex] ( car, [tex] \ i_g[/tex] est linéaire ).
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.