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Alii

Invité

Signification d'une tribu engendré par un ensemble

Bonjour ،
S'ils vous plaît, j'ai du mal à comprendre ce que c'est une tribu engendrée par un ensemble ou une famille d'ensembles.
Ça signifie quoi? S'ils est demandé de montrer qu'une tribu est engendré par un ensemble on doit montrer quoi ???

Merci beaucoup par avance ?

bridgslam

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Re : Signification d'une tribu engendré par un ensemble

Bonsoir ,

Si vous avez un ensemble donné de parties  d'un ensemble E, la tribu engendrée par cet ensemble de parties est  le plus petit ensemble de parties de E qui soit une tribu , et telle que toutes les  parties données en soient des éléments.
Toute tribu contenant les parties données la contiendra forcémement.
Elle existe, et est unique.
Exemples:
Si l'ensemble des parties donné est {E}, sa tribu engendrée est $\{E, \emptyset \}$
Si l'ensemble des parties donné d'un espace topologique est l'ensemble des ouverts, les parties de sa tribu engendrée ont pour nom boréliens, on parle de la tribu des boréliens.
Elle contiendra donc les ouverts , les fermés, les réunions dénombrables des uns et/ou des autres , intersections dénombrables , complémentaires ,  les combinaisons de tous ces procédés...
A part quelques cas particuliers, la description ensembliste de ce qui forme la tribu n'est pas simple du tout.

La notion de tribu est indispensable pour la théorie de la mesure et partant l' intégration de Lebesgue.
Elle permet de restreindre les parties sur lesquelles on va travailler à une quantité utile raisonnable, car prendre en compte toutes les parties serait utopique et bien trop complexe.
Avec les tribus engendrées , on inclut déjà dedans le strict nécessaire pour travailler...
Grosso-modo  par exemple, ce qu'on va pouvoir mesurer avec des propriétés naturelles... Bref poser un socle solide.

Bon courage
A

Dernière modification par bridgslam (24-12-2023 00:56:43)

Alii

Invité

Re : Signification d'une tribu engendré par un ensemble

Bonsoir Bridgslam , merci pour ta réponse et tes infos.
D'accord c'est compris .
Mais je veux te poser une autre petite question s'il vous plaît.
S'il est demandé de montrer que la tribu de Borel de R est engendrée par une autre famille d'ensembles. Quel est l'astuce pour faire cette question, c'est à dire ،comment le faire ??

Merci.

Alii

Invité

Re : Signification d'une tribu engendré par un ensemble

Par exemple, montrer que la tribu de borel est engendrée par les intervalles de type ]a,b] tel que a et b deux éléments de R.

Michel Coste

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Re : Signification d'une tribu engendré par un ensemble

Bonjour,
Tu sais que la tribu de Borel sur $\mathbb R$ est engendrée par les intervalles ouverts.
Tu sais aussi que les intervalles $]a,b]$ avec $a<b$ sont dans la tribu de Borel.
Il te suffit donc de vérifier que les intervalles ouverts sont dans la tribu engendrée par les $]a,b]$ avec $a<b$. Par exemple, que tout intervalle ouvert est réunion dénombrable d'intervalles de cette forme.

bridgslam

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Re : Signification d'une tribu engendré par un ensemble

Bonsoir,

Et si le premier point souligné par Michel Coste n'est pas clair (si on vous a défini la tribu de Borel comme engendrée par l'ensemble des ouverts) l'idée est analogue:
Montrer qu'un ouvert est réunion (au plus) dénombrable d'intervalles ouverts.
Etant donc tous dans la tribu engendrée par juste les intervalles ouverts, celle-ci contient donc celle de Borel, puis l'égalité est facile.
Etant donné un ouvert, en considérant pour chaque point de l'ouvert le plus grand intervalle ouvert qui le contient, on en obtient une partition en ces intervalles ouverts. Elle est dénombrable du fait qu'on peut les étiqueter avec des rationnels (moyennant l'axiome du choix il me semble) par densité.
Pour le dernier point de Michel, c'est nettement plus facile:
Comment voir par exemple que ]0,1[ est réunion dénombrable
d' intervalles du type ]a ,b]?
La stabilité par réunion dénombrable (et pas juste finie comme pour les clans) n'est pas posée pour faire joli ou épater la galerie. Ça permet par exemple d'évaluer en probabilités la survenue d'évènements dont le rang n'est pas fixé ( tirer un double six aux dés au rang N...  Avec beaucoup de malchance rien ne dit que ce sera réussi avant un rang fixé, même grand ).

Bonne soirée
A.

Alii

Invité

Re : Signification d'une tribu engendré par un ensemble

Bonjour,
Tu sais que la tribu de Borel sur $\mathbb R$ est engendrée par les intervalles ouverts.
Tu sais aussi que les intervalles $]a,b]$ avec $a<b$ sont dans la tribu de Borel.
Il te suffit donc de vérifier que les intervalles ouverts sont dans la tribu engendrée par les $]a,b]$ avec $a<b$. Par exemple, que tout intervalle ouvert est réunion dénombrable d'intervalles de cette forme.

Bonjour, d'abord je vous remercie pour votre aide et pour vos astuces.
Michel coste tu as dit qu'on doit montrer que les intervalles de la forme ]a,b] sont dans la tribu de Borel ,mais cela nous donne seulement que ces intervalles sont dans B(R)  et non la tribu engendrée par ces intervalles sont dans B(R).
Même chose si on montre que les intervalles ouverts sont dans la tribu engendrée par ]a,b] et non B(R)c sigma(]a,b]) .
Des idées pour ce problème ???

Merciii

bridgslam

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Re : Signification d'une tribu engendré par un ensemble

Bonjour,

Oui , mais si une tribu contient un ensemble de parties elle contient la tribu engendrée par cet ensemble de parties, par minimalité.

A.