Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lille48

Invité

Réunion dénombrable de sous groupes.

Bonsoir,

Soit [tex]G[/tex] un groupe topologique localement compact.
Soit [tex](G_n )_{ n \geq 0 }[/tex] une suite croissante de sous groupes ( fermés ) de [tex]G[/tex] telle que, [tex]G = \displaystyle \bigcup_{ n \geq 0 } G_n[/tex].
Est ce que alors, [tex]\exists n_{0} \in \mathbb{N}[/tex], tel que, [tex]G = G_{n_{0}}[/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Réunion dénombrable de sous groupes.

Bonjour,

  Je pense que c'est faux. Si tu considères $G=\mathbb Z^{(\infty)}=\{(n_k)\in\mathbb Z^\mathbb N:\ \exists p\geq 0,\ n_k=0\textrm{ si }k\geq p\}$, autrement dit $G$ est l'ensemble des suites d'entiers nulles à partir d'un certain rang, et que tu le munis de la topologie discrète, cela doit être un groupe topologique localement compact.
On peut alors considérer $G_n=\mathbb Z\times\cdots\mathbb Z\times\{0\}\times\cdots$. Alors $(G_n)$ est une suite croissante de sous-groupes fermés dont la réunion est $G,$ sans qu'il y a ait égalité entre $G$ et $G_{n_0}$ pour un certain $n_0$.

F.

Lille48

Invité

Re : Réunion dénombrable de sous groupes.

Merci beaucoup Fred.  :-)