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Lille48

Invité

Fonction continue à support compact.

Bonsoir,

Soit [tex]X[/tex] un espace topologique.
Soit [tex]C ( X , \mathbb{C} ) = \{ \ f \ : \ X \to \mathbb{C} \ | \ f \ \text{est continue sur} \ X \ \}[/tex].
Soit [tex]C_c ( X , \mathbb{C} ) = \{ \ f \ : \ X \to \mathbb{C} \ | \ f \ \text{est continue sur} \ X \ \text{à support compact} \ \}[/tex].
Pourquoi [tex]C_c ( X , \mathbb{C} ) = C ( X , \mathbb{C} )[/tex] si [tex]X[/tex] est compact ?

Merci d'avance.

Lille48

Invité

Re : Fonction continue à support compact.

Pourquoi [tex]C_c ( X , \mathbb{C} ) = C ( X , \mathbb{C} )[/tex] si [tex]X[/tex] est compact ?

L'inclusion [tex]C_c ( X , \mathbb{C} ) \subset C ( X , \mathbb{C} )[/tex] est triviale.
Il reste l'inclusion réciproque, [tex]C ( X , \mathbb{C} ) \subset C_c ( X , \mathbb{C} )[/tex].

Lille48

Invité

Re : Fonction continue à support compact.

Il reste l'inclusion réciproque, [tex]C ( X , \mathbb{C} ) \subset C_c ( X , \mathbb{C} )[/tex].

Soit [tex]f \in C ( X , \mathbb{C} )[/tex],
Alors, [tex]\mathrm{supp} \ f[/tex] est un fermé dans [tex]X[/tex] qui est compact, par hypothèse.
D'où, [tex]\mathrm{supp}\  f[/tex] est un compact de [tex]X[/tex].
Par conséquent, [tex]f \in C_c ( X , \mathbb{C} )[/tex].
Conclusion : [tex]C ( X , \mathbb{C} ) \subset C_c ( X , \mathbb{C} )[/tex].