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yoshi

Modo Ferox

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Défi n°1 de décembre 2023 du site Images des Mathématiques

Bonjour,

Plus précisément
https://images.math.cnrs.fr/Decembre-1er-defi-6703.html
48e de l'année.

Considérons 20 nombres entiers consécutifs supérieurs à 50. Quelle est la quantité maximale de nombres premiers dans cet ensemble ?

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jelobreuil

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Re : Défi n°1 de décembre 2023 du site Images des Mathématiques

Bonjour Yoshi,
On peut immédiatement dire qu'il y en a moins de 10, puisque parmi ces 20 nombres consécutifs, il y aura 10 nombres pairs.
Connaissant la suite de premiers consécutifs 101-103-107-109, on peut conjecturer que c'est autour de ces nombres qu'il faut chercher le maximum demandé. Un coup d’œil sur une table des nombres premiers indique alors que l'ensemble des 6 nombres premiers 97-101-103-107-109-113 est bien inclus dans un ensemble de 20 nombres entiers consécutifs, et il semble que ce soit le maximum possible dans l'ensemble allant de 50 à l'infini ...
En effet, entre 50 et 250, la liste des nombres premiers 53-59-61-67-71-73-79-83-89-97-101-103-107-109-113-127-131-137-139-149-151-157-163-167-173-179-181-191-193-197-199-
211-223-227-229-233-239-241
fait apparaitre  les deux "clusters" soulignés.
Mais si on s'autorise à considérer non plus 20, mais 21 entiers consécutifs, il y en a deux de plus, de 59 à 79 et de 179 à 199, et l'on peut en trouver d'autres beaucoup plus loin dans la série des nombres entiers, par exemple celui-ci : 1277-1279-1283-1289-1291-1297 !
Je suppose que c'est en relation avec la densité des couples de premiers jumeaux et cousins ...
Je ne sais si tu seras satisfait de ma réponse, dans la mesure où c'est de l'empirisme ...
Bien cordialement, JLB

yoshi

Modo Ferox

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Re : Défi n°1 de décembre 2023 du site Images des Mathématiques

Bonsoir,

Merci d'avoir répondu...

▼ Ta méthode "empirique" a donné...

...le bon résultat.

Je pense que l'auteur du défi attendait une réponse à cette formulation :
$\forall n \in \mathbb N,\,n>50$ combien y a-t-il de nombres premiers dans l'intervalle  $[n\,;\, n+19]$ ?
Elle aurait davantage incité à fournir une réponse "générale".

Quant à ta conjecture sur la relation possible avec la densité des couples de premiers jumeaux et cousins, on saura probablement si elle "tient" avec la publication du 51e défi de l'année où sera donnée la solution officielle de ce 50e..

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