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Borassus

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Comment créer des équations paramétriques du second degré ?

Bonjour,

J'ai souvent besoin de montrer à mes élèves de Première et de Terminale des exemples d'équations paramétriques du second degré, et aimerais savoir en créer à la volée.

Comment donc à partir d'un polynôme du 2nd degré en m ayant des racines "faciles" — par exemple 2 et -3, ce qui définit le polynôme m² + m - 6 — élaborer les coefficients a, b, c du polynôme en x ?

Démarche inverse, peut-être : Comment, à partir d'un ou deux coefficients en m du polynôme en x, définir le(s) coefficient(s) restant(s) pour que le discriminant aboutisse à un polynôme du 2nd degré en m présentant des racines simples ?

Merci d'avance de votre aide.

Michel Coste

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Re : Comment créer des équations paramétriques du second degré ?

Bonjour,
Tu veux sans doute que les valeurs "spéciales" du paramètre ($2$ et $-3$ dans ton exemple) correspondent à des équations du second degré ayant une racine double, disons par exemple $(x+1)^2=0$ pour $m=2$ et $(x-2)^2=0$ pour $m=-3$.
Il te suffit alors de former le faisceau linéaire d'équations du second degré
$$(m+3)(x+1)^2+(m-2)(x-2)^2=0\;.$$
En développant, tu obtiens
$$ (2m+1)x^2 -2(m-7)x +5(m-1)=0$$
dont le discriminant est $-9(m^2+m-6)$.
On aurait pu aussi partir sur
$$(m+3)(x+1)^2-(m-2)(x-2)^2=0\;,$$
par exemple.

Dernière modification par Michel Coste (19-12-2023 14:35:03)

Borassus

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Re : Comment créer des équations paramétriques du second degré ?

Merciii Michel !

Effectivement, je n'avais pas réalisé qu'il faut utiliser le fait que pour ces deux valeurs l'équation se réduit à une racine double !

Je sens que je vais m'amuser à créer des équations paramétriques à la chaîne.  :-)

(Je vais aussi apprendre à mes élèves à en créer eux-mêmes. Je leur demande souvent à "jouer au prof" et à créer leurs propres exercices. Comme cela ils en comprennent mieux la logique et ne sont pas impressionnés en contrôle.)

Michel Coste

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Re : Comment créer des équations paramétriques du second degré ?

Avec plaisir.

Rescassol

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Re : Comment créer des équations paramétriques du second degré ?

Bonjour,

Ou alors, un exemple en Python:

import numpy as np
import sympy as sy

def Coeff(A,B):
    S='('+str(A)+'m'
    if B<0:
        S=S+'-'
    else:
        S=S+'+'
    S=S+str(B)+')'

    return S

sy.var('a b c d e f m x', real=True)

Eq=(a*m+b)*x**2-2*(c*m+d)*x+(e*m+f)
Delta=(c*m+d)**2-(a*m+b)*(e*m+f)
# On trouve Delta=(c^2-a*e)*m^2 + (2*c*d-b*e-a*f)*m + (d^2-b*f)
delta=(2*c*d-b*e-a*f)**2-4*(c**2-a*e)*(d**2-b*f)
# On trouve delta=(a*f-b*e)^2 - 4*(a*d-b*c)*(c*f-d*e)
# On veut delta = D^2
# A=a*d-b*c; B=a*f-b*e; C=c*f-d*e; D^2=B^2-4*A*C;
# B^2-D^2=4*A*C ==> B et D sont de même parité
# Exemples:
# B=6; D=4; 4*A*C=36-16=20 et A*C= 5
# Par ex, A=1 et C=5
# a*d-b*c=1, a*f-b*e=6, c*f-d*e=5

M, N = 1, 5
for a in range(M,N+1):
    for b in range(M,N+1):
        for c in range(M,N+1):
            if (b*c+1) % a == 0:
                d=(b*c+1)//a;
                Mat=np.array([[c, -a], [d, -b]])
                ef=np.dot(Mat,np.array([6, 5]))
                e, f = ef[0], ef[1]
                print('[a, b, c, d, e, f] =',[a, b, c, d, e, f])
                print('[a*d-b*c, a*f-b*e, c*f-d*e] =',[a*d-b*c, a*f-b*e, c*f-d*e])
                Eq=Coeff(a,b)+'x^2+'+Coeff(c,d)+'x+'+Coeff(e,f)
                print('Eq =',Eq)
                Delta=sy.factor((c*m+d)**2-(a*m+b)*(e*m+f))
                print('Delta =',Delta,'\n')
 

Cordialement,
Rescassol

Borassus

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Re : Comment créer des équations paramétriques du second degré ?

Merci Rescassol,

Whaou ! La leçon de Python, que je connais très (très) peu !!

Je vais profiter de cet exemple concret pour me familiariser avec ce langage. (J'ai déjà écrit quelques lignes de code dans une vie antérieure, mais pas en Python.)

Borassus

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Re : Comment créer des équations paramétriques du second degré ?

[...]
En développant, tu obtiens
$$ (2m+1)x^2 -2(m-7)x +5(m-1)=0$$
dont le discriminant est $-9(m^2+m-6)$.
[...]

Bonjour Michel, et tout le monde

Comme le discriminant reste inchangé si on divise ou multiplie le coefficient du terme de seconde degré (a) par un nombre, et qu'on multiplie ou divise la constante (c) par ce même nombre,
l'expression finale peut être structurellement simplifiée en

[tex]x^2 -2(m - 7)x + 10m^2 - 5m - 5 = 0[/tex]

Bonnes fêtes de Noël et de fin d'année à tous !