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#1 16-12-2023 10:29:56
- tilda
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Un ensemble fermé
Bonjour tout le monde.
On se donne E=(C([0,1],R) on le munit de la distance d donnée pour tout f,g éléments de E , $d(f,g)=sup x \in [0,1] |f(x)-g(x)|$
soit F c E défini par : $F=\{f \in E , f(0)=0\}$
Montrons que F est fermé
Pour cela , j'ai pensé à voir $F=h^{-1}(\{0\})$ mais j'ai du mal à définir le h ..
Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
Merci énormément.
Dernière modification par tilda (16-12-2023 11:59:29)
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#7 16-12-2023 12:07:16
- Fred
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- Messages : 7 348
Re : Un ensemble fermé
Bonjour,
Je vais mettre une lettre grecque pour ne pas confondre avec les lettres latines.
Tu peux définir $\phi:E\to\mathbb R,$ $f\mapsto \phi(f)=f(0)$.
Alors $\phi$ est continue
et $\phi(f)=0\iff f(0)=0$. Ainsi, $F=\phi^{-1}(\{0\})$.
F.
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#9 16-12-2023 17:17:33
- bridgslam
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Re : Un ensemble fermé
Bonsoir,
Vous avez aussi l'approche par le fait que $G = F^c = \{ g \in E , g(0) \ne 0 \}$ est ouvert, vu que pour tout g dans G, la boule ouverte $B( g, |g(0)|/2 )$ est incluse dans G. C'est kif kif.
A.
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#10 18-12-2023 12:24:55
- tilda
- Membre
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Re : Un ensemble fermé
Bonjour Bridgslam.
Merci beaucoup pour la remarque , je vois que c'est intriguant ..
S'il vous plait comment vous avez pu voir que B(g,|g(0)|/2) est incluse dans G ; c'est quoi votre idée de construction ?
Merci beaucoup d'avance
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#11 18-12-2023 13:17:29
- bridgslam
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Re : Un ensemble fermé
Bonjour Tilda,
L'approche par la continuité est ici la meilleure, mais je voulais mettre l'accent sur le fait que parfois le chemin par le complémentaire peut être intéressant
( parfois plus simple, même si ce n'est pas le cas ici).
Avec des mots:
Si g et g' s'écartent entre eux sur [0;1] de moins de |g(0)|/2 , g'(0) peut-il être nul? Donc...
Bonne journée
A.
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#12 18-12-2023 14:06:00
- tilda
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Re : Un ensemble fermé
A d'accord ! franchement je n'ai jamais penser à faire le chemin du complémentaire , merci de me l'avoir rappeler.
Je m'excuse mais je n'ai pas vraiment saisi pourquoi pour tout g dans G , B(g,|g(0)|/2) est dans G ..
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#13 18-12-2023 14:38:43
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : Un ensemble fermé
Bonjour,
Ce ne sont rien d'autre que des définitions.
Ces boules ouvertes B de centre g dans G sont telles que tous leurs éléments ( des fonctions de E) ont toutes leurs images assez concentrées autour de celles de g par construction, , notamment suffisamment pour que comme g, leur image en 0 ne puisse pas être nul ( l'écart serait supérieur à |g(0)|/2 ).
Pour tout g dans G, comme il existe une boule ouverte de centre g incluse dans G, ça veut bien dire que G est ouvert (pas de point "au bord").
Si vous cherchez à montrer formellement pourquoi la fonction que vous a proposé Fred est continue, ça revient pratiquement au même phénomène.
A.
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#14 27-12-2023 19:10:50
- tilda
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Re : Un ensemble fermé
Bonsoir
Re , si h est dans B(g,|g(0)|/2)
alors ||g-h||<=|g(0)|/2 qui est différent de 0
alors ||g-h|| est différent de 0 pour tous éléments dans [0,1]
donc g-h est différent de 0 de E (là je ne suis pas vraiment sûre vu que E n'est pas de dim finie ..)
donc (g-h)(0) est différent de 0
donc g(0)-h(0) est différent de 0
et là puisque g est différent de 0 reste h(0) différent de 0
donc h est dans G
Est-ce bien correcte ?
Merci d'avance
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#15 27-12-2023 23:13:55
- bridgslam
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Re : Un ensemble fermé
Bonsoir,
Re , si h est dans B(g,|g(0)|/2)
alors ||g-h||<=|g(0)|/2 qui est différent de 0
Presque bon, mais l'inégalité doit être stricte( boule ouverte).
alors ||g-h|| est différent de 0 pour tous éléments dans [0,1]
Pas de sens, la phrase ne veut rien dire, si g et h sont fixés, les éléments de l'intervalle n'ont rien à y voir.
De plus si h=g, h est toujours dans la boule.
donc g-h est différent de 0 de E (là je ne suis pas vraiment sûre vu que E n'est pas de dim finie ..)
donc (g-h)(0) est différent de 0
donc g(0)-h(0) est différent de 0
et là puisque g est différent de 0 reste h(0) différent de 0
donc h est dans GEst-ce bien correcte ?
Je ne comprends pas ce que vous écrivez.
Il suffit de voir que h ne peut pas s'annuler en 0.
L'argument est que si h(0) = 0, |(g-h)(0)| = |g(0)|, inférieur à
|| g-h||, serait donc inférieur à |g(0)|/2, contradiction.
Il suffit d'appliquer les définitions.
A.
Dernière modification par bridgslam (28-12-2023 03:32:01)
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