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Timothé

Invité

Matrice de passage

Bonjour,

J'ai un problème avec la compréhension de la matrice de passage d'une base vers une autre... je n'arrive pas à comprendre pourquoi on nous dit "voilà P(1,2) qui passe de 1 à 2 et la matrice dans 2 du vecteur x : pour obtenir la matrice dans 1 de x, on doit faire le produit de la matrice dans 2 de x par la matrice de passage de 1 à 2" C'est contradictoire et je ne comprends pas pourquoi on appelle ça la matrice de passage de 1 à 2 si au final dans son usage elle fait passer un vecteur de 2 à 1...

Bonne soirée.

Fred

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Re : Matrice de passage

Bonjour,

  C'est une question intéressante que tu poses et qui relève plus de la pédagogie que des mathématiques.
Quand on a une base bien connue $\mathcal B_1$ et une nouvelle base $\mathcal B_2$, la façon la plus simple
de connaitre $\mathcal B_2$ c'est de l'exprimer en fonction des vecteurs de $\mathcal B_1$, et donc d'écrire
ce qu'on appelle la matrice de passage de $\mathcal B_1$ à $\mathcal B_2$, que tu as appelé $P_{1,2}$.
Mais malheureusement, on a la formule $X_1=P_{1,2}X_2$ et non celle que l'on préfèrerait qui donne
directement les coordonnées dans la nouvelle base.

  Il se trouve que ce terme de matrice de passage n'est pas complètement universel. Certains livres de référence des années 1960
(Godement par exemple) donne la définition inverse pour une matrice de passage. Et il semble que dans d'autres langues, comme en anglais, en allemand, en italien, c'est également la convention inverse qui est adoptée. Par exemple, sur cette page, la matrice de passage de $\mathcal B_1$ à $\mathcal B_2$ (pour notre terminologie française) est appelée "change of coordinates matrix from $\mathcal B_2$ to $\mathcal B_1$".

  Après, je ne sais pas si c'est réellement perturbant. Le tout est de bien comprendre ce que l'on fait!

Fred.

bridgslam

Membre Expert

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Re : Matrice de passage

Bonjour,

Merci Fred pour ces précisions linguistiques vraiment très intéressantes.

Il faut généralement attendre un cours sur le calcul tensoriel ( qui englobe d'un seul point de vue matrices, vecteurs, scalaires...) pour mieux saisir cet aspect
de contre-courant entre échanges de matrices et échanges de coordonnées.
Il y est justement question de tenseurs "covariants" et "contravariants", aux noms bien évocateurs.
Vous pouvez néanmoins le percevoir directement (sans attendre cette théorie) en considérant les échanges d'expression pour les formes linéaires vis à vis des bases duales.

Comme l'a souligné Fred, l'important est de savoir ce que l'on fait, et surtout de garder les idées claires.

Alain