Forum de mathématiques - Bibm@th.net

eleve math sup

Invité

polynome

Bonjour
Le polynôme suivant est réel $P(x)=( x -r_1)^{m_1}...(x-r_t)^{m_t}$ avec $m_1+...+m_t=n$
il faut voir (1) $nP(x)P''(x) \leq (n-1)P'^2(x)$
On a vu en classe que si P est scindé réels alors $P(x)P''(x) \leq P'^2(x)$, il faut décomposer
éléments simples $F=P'/P$ puis dérivée.
Pour (1) j'ai essayé la même démarche trouver une fraction comme F et dérivée sans succès.
j'ai observé que $P(x)=(x-r)^n$ donne l'égalité dans (1)
Pouvez-vous me donner des indications pour (1)  ?

Lars

Invité

Re : polynome

Bonsoir,

Utilisez l'inégalité de Cauchy-Schwarz si vous l'avez étudiée.

eleve math sup

Invité

Re : polynome

Oui on a vu cette inégalité (*) $(x_1y_1+…+x_my_m)^2 \leq (x_1^2+…+x_m^2)(y_1^2+…+y_q^2)$, mais je ne vois pas
comment faire apparaître (*) à partir de $nP(x)P’’(x)$ ? Est-ce qu’il faut développer nPP’’ pour avoir une somme et utiliser (*) ?

Lars

Invité

Re : polynome

Bonjour,

Utilisez la décomposition en éléments simples de $y:=P'/P$ vue en classe, et majorez $y^2$ en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz ($n_i=\sqrt n_i. \sqrt n_i$ de sorte à faire apparaître un facteur proportionnel à $y'$ comme majorant). Puis reformulez l'inégalité en termes d'inégalité vérifiée par $P$. Si l'inégalité, qu'on vous demande de démontrer, est vraie en tout point sauf peut-être sur un nombre fini de points, alors elle est vraie partout par continuité. Conclure.

Lars

Invité

Re : polynome

Bonjour,

Utilisez la décomposition en éléments simples de $y:=P'/P$ vue en classe, et majorez $y^2$ en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz ($n_i=\sqrt n_i. \sqrt n_i$ de sorte à faire apparaître un facteur proportionnel à $y'$ comme majorant). Puis reformulez l'inégalité en termes d'inégalité vérifiée par $P$. Si l'inégalité, qu'on vous demande de démontrer, est vraie en tout point sauf peut-être sur un nombre fini de points, alors elle est vraie partout par continuité. Conclure.

Correction : Avec vos notations c'est $m_i$ (au lieu de $n_i$)

eleve math sup

Invité

Re : polynome

C’est bon ça marche en suivant vos indications. Je n’aurai pas trouvé ces enchaînements d’idées.

eleve math sup

Invité

Re : polynome

J’étais loin de penser que c’est avec Cauchy-Schwarz, je voulais absolument trouver une fraction rationnelle qui donne l’inégalité par dérivation. Merci ? de m’avoir guidé.