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#1 12-12-2023 02:57:33
- Antoooo
- Invité
Convergence de sup
Bonjour,
J'ai une petite question que je me pose...
On se place sur IR^d et on fixe un ouvert borné U et une fonction continue f de U dans IR.
On suppose que le sup de f sur U est fini.
Est-ce que la propriété suivante est vraie : si V_k est une suite d'ouvert dans U tq V_k converge vers un ouvert V (au sens de la distance de Hausdorff par exemple) alors le sup de f sur V_k tend vers le sup de f sur V ?
Cordialement,
Anthony
#2 12-12-2023 08:58:13
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 913
Re : Convergence de sup
Bonjour,
La convergence d'une suite de parties vers une autre est une notion purement ensembliste, sans rapport avec une quelconque topologie et la distance entre parties n'est pas une distance
( Par exemple d(A,B)=0 n'implique pas A=B).
Sauf erreur les notions sont complètement indépendantes.
Comment exprimez-vous par exemple que $ (O_n)$ converge vers $O$ ?
A.
Dernière modification par bridgslam (12-12-2023 09:03:30)
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#3 12-12-2023 09:07:24
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 475
Re : Convergence de sup
Bonjour,
La distance de Hausdorff n'est pas une métrique sur l'ensemble de ouverts de $U$.
Par ailleurs, prenons pour $U$ le disque unité de $\mathbb C$ privé du demi-axe des réels $\leq0$, et soit $f$ la détermination principale de l'argument. Soit $V$ le demi-disque ouvert des $z$ de $U$ de partie imaginaire $<0$ et prenons pour $V_k$ la réunion de $V$ et du demi-disque ouvert des $z$ de partie imaginaire $>0$ tels que $|z+1/2|<2^{-k}$ pour $k>0$. Que se passe-t-il à ton avis ?
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#5 12-12-2023 12:43:59
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 913
Re : Convergence de sup
Bonjour,
En prenant d=1, $f$ la fonction nulle , $U=]-3;3[ $ , $V_n = \mathbb{Q} \cap ] \sqrt{2}-1/2^n, \sqrt{2} + 1/2^n[ $ tend vers $V = \emptyset$.
$sup f(V) = -\infty$ tandis que $sup f(V_k) = 0$.
Même idée d'ailleurs avec $U =]-1,1[$ et $W_n = ]0, 1/n[ $
A.
Dernière modification par bridgslam (12-12-2023 14:40:26)
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#6 13-12-2023 14:44:29
- Antooo
- Invité
Re : Convergence de sup
Bonjour à tous,
Merci pour vos réponses, contre exemples et précisions.
Je me permet de compléter mon interrogation.
On fixe un ouvert U borné dans IR et on se donne une fonction uniformément continue sur U telle que sup f < infini sur U.
On se donne une suite d'ouvert Vk (on peut les supposer convexes si cela nous arrange) telle que Vk converge vers V (un autre ouvert) au sens suivant :
pour tout r>0, il existe un rang a partir tous les Vk sont inclus dans le r-voisinage de V et réciproquement i.e. V(r) contient Vk et Vk(r) contient V.
Sous ces hypothèses, je pense qu'on peut dire que :
sup_Vk f converge vers sup_V f.
Cordialement,
Anthony
P.S. : si l'hypothèse f uniformément continue ne suffit tjr pas, on peut prendre f une fraction rationnelle.
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