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robert567

Invité

variante somme de Gauss

Bonsoir
Calculer $A=\sum_{t=1}^{n-1}\sin(t^2\pi/n)\cotan(t\pi/n)$
je sais faire pour les sommes de Gauss classiques https://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Gauss
mais pour $A$ je ne vois pas.
De l'aide pour avancer merci

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

Bonsoir,
On dirait qu'on peut distinguer deux cas en exploitant les symétries d'une fonction trigonométrique dans cette somme $A$:
1) le cas n pair : on peut voir ce qui se passe si on somme le premier et le dernier terme, le deuxième et l'avant dernier, etc... et plus généralement le $x$ ième terme et le $n$ moins $x$-ième terme. Dès lors le terme central d'indice n/2 est nul, non ?
2) le cas n impair : je ne sais pas trop... mais j'ai l'impression que c'est le même principe de neutralisation de certains termes entre eux.

Dernière modification par Zebulor (01-12-2023 06:20:29)

robert567

Invité

Re : variante somme de Gauss

Ça alors si n est pair on trouve bien A=0
Comment aborder le cas n impair?

robert567

Invité

Re : variante somme de Gauss

Je ne pas certain j’ai l’impression que pour n impair c’est encore A est encore nulle.

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

re,
pour répondre à cette question tu peux essayer avec $n=3$ ... ca ne fait que deux termes à sommer.  Je vais me coucher mais je sens que le résultat dépend de $n$ dans le cas $n$ impair

Bonne nuit

Dernière modification par Zebulor (30-11-2023 22:16:53)

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

re,
finalement je ne me suis pas couché ... je trouve $\dfrac{n-1}{2}$ dans le cas impair

robert567

Invité

Re : variante somme de Gauss

En j’ai regardé numériquement pour n =3;5;7;9;11 ça à l’air $\frac{n-1}{2}$
mais je ne vois pas comment le prouver

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

Bonjour,
j'aurais dû écrire que "je conjecture" plutôt que "je trouve" ... je regarderai ça..
Il s'agit donc de trouver la somme  $A=\sum_{t=1}^{2p}\sin(t^2 \dfrac {\pi}{2p+1}) \cot(t \dfrac {\pi}{2p+1})$ pour tout entier $p$ non nul..
Je ne vois pas pour le moment... mais je sens qu'il y a une symétrie à trouver, peut être voir si on aurait pas, en posant $f(t)=\sin(t^2 \dfrac {\pi}{2p+1}) \cot(t \dfrac {\pi}{2p+1})$ : $\sum_{t=1}^{p}f(t)=\sum_{t=p+1}^{2p}f(t)$.

Ce n'est qu'une piste, peut être fausse..

Dernière modification par Zebulor (01-12-2023 12:07:09)

robert567

Invité

Re : variante somme de Gauss

j'ai regardé ta conjecture pour plusieurs valeurs de n=2p1+1,  $\sum_{k=1}^{p}f(t)=\sum_{t=p+1}^{2p}f(t)$ cela semble juste

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

re,
il semble aussi que $f(t+1)=f(2p-t)$ pour tout entier naturel $t$ ...
Et sinon les sommes de Gauss, je ne connaissais pas ...

https://www.bibmath.net/dico/index.php? … gauss.html

Dernière modification par Zebulor (01-12-2023 16:05:37)

robert567

Invité

Re : variante somme de Gauss

je n’arrive pas à calculer A pour n impair en essayant une approche comme dans la preuve des sommes de Gauss.
Peut-être comme tu le dis c’est par des symétries, et manipulations astucieuses c’est possible.

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

Re,
Par récurrence c est impossible.mais ton sujet est intéressant ... je creuserai encore

Bonne soirée

Dernière modification par Zebulor (01-12-2023 21:45:43)

robert567

Invité

Re : variante somme de Gauss

Auriez-vous des pistes pour m’aider à avancer sur ce casse tête pour calculer A quand n est impair?

Bien cordialement

Robert

Dernière modification par yoshi (03-12-2023 17:20:01)

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

Bonsoir ,
Il se pourrait bien que certains ici trouvent la solution... un peu de patience. Dans quel contexte te demande t on  ce calcul ?

Bonne soirée

robert567

Invité

Re : variante somme de Gauss

Il n’y a pas urgence ce n’est pas un DM à rendre.
Un étudiant cette semaine en spé a eu sa colle de maths, il a fait deux exos correctement.
Il restait un peu de temps avant la fin le colleur lui a donné cet exos sans indications et sans solution afin qu’il s’occupe.
L’étudiant m’a demandé si je pouvais l’aider, ayant déjà vu les sommes de Gauss je pensais à une solution un peu comme dans la preuve des sommes de Gauss. Aujourd’hui j’ai essayé d’exprimer A avec le développement eulerian de cotangente ça me donne des calculs avec des doubles sommes, pas (n-1)/2 si n est impair.

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

Bonjour,
petite curiosité, il semblerait que pour tous entiers $n$ et $p$ ( où p est non nul), $\sum_{t=1}^{2p}\sin(t^{2n+1} \dfrac {\pi}{2p+1}) \cot(t \dfrac {\pi}{2p+1})=0$

Dernière modification par Zebulor (13-12-2023 13:57:26)

robert567

Invité

Re : variante somme de Gauss

Intéressant as-tu une preuve ?

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

Bonsoir,
Je t avoue ne pas y avoir réfléchi ..on trouve encore une symétrie. Comme la question initiale du calcul de A a été posée en colle, c est qu elle présente une solution...

robert567

Invité

Re : variante somme de Gauss

zebulor comment es-tu arrivé à l'identité de #16?

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

Bonjour,

@robert : je n'en suis qu'au stade de la supposition après avoir testé sur plusieurs valeurs de $p$ et $n$.
Pour $n$ nul en tout cas, on a une somme plutôt sympathique ...
Chose importante j ai modifié le post 16: j appelle cette somme B et non À : ce n’est pas la même somme que celle de ta discussion

Dernière modification par Zebulor (10-12-2023 23:21:50)

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

Bonjour,
autre petite curiosité, il semblerait que pour tous entiers $n$ et $p$ ( où p est non nul), on ait :

$\sum_{t=1}^{2p-1}\sin(t^{2n+1} \dfrac {\pi}{2p+1}) \cot(t \dfrac {\pi}{2p+1})=cos(\dfrac {\pi}{2p+1})$

$\sum_{t=1}^{2p}\sin(t^2 \dfrac {\pi}{2p+1})=0$

Dernière modification par Zebulor (14-12-2023 21:49:19)

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

Bonjour,
pour démontrer l'une d'elles tu peux voir que :
$\sum_{t=1}^{2p}\sin(t^2 \dfrac {\pi}{2p+1})=\sum_{t=1}^{p}((\sin(t^2 \dfrac {\pi}{2p+1})+\sin((2p-t+1)^2 \dfrac {\pi}{2p+1}))))$
Or cette somme de sinus dans le second membre est toujours nulle pour tout t compris entre 1 et p...En développant $(2p-t+1)^2$ tu peux voir que c'est de la forme $t^2+2m+1$.
Tu rajoutes à au carré de $t$ un nombre impair, si bien que dans la somme à droite de l'égalité du post 22 le second sinus est l'opposé du premier...

Dernière modification par Zebulor (14-12-2023 22:07:51)

robert567

Invité

Re : variante somme de Gauss

Incroyable toutes ces conjectures.

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

Bonsoir,
par contre je ne vois toujours pas pour la somme A du post 8.

Bonne nuit

Zebulor

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Re : variante somme de Gauss

Bonjour,

...En développant $(2p-t+1)^2$ tu peux voir que c'est de la forme $t^2+2m+1$.
Tu rajoutes à au carré de $t$ un nombre impair, si bien que dans la somme à droite de l'égalité du post 22 le second sinus est l'opposé du premier...

Dans le détail $\dfrac {(2p-t+1)^2}{2p+1}=2(p-t)+1+ \dfrac {t^2}{2p+1}$ ... certes ça ne répond pas au sujet me répliquera-t-on.

Dernière modification par Zebulor (15-12-2023 12:01:43)