Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lille48

Invité

Groupe localement compact.

Bonsoir à tous,

Soit [tex]G[/tex] un groupe topologique localement compact engendré par une partie compacte [tex]S[/tex]  ( i.e : [tex]G = \langle S \rangle[/tex] ).
Comment montrer que [tex]G[/tex] est compact ?

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Groupe localement compact.

Bonsoir,

  Ou je n'ai pas compris la question, ou c'est faux : par exemple, $(\mathbb Z,+)$ est localement compact
et est engendré par la partie compacte $S=\{1\}$.

F.

Lille48

Invité

Re : Groupe localement compact.

Oui, tu as raison. Merci Fred.  :-)

Lille48

Invité

Re : Groupe localement compact.

Bonsoir,

J'ai une autre question portant sur le meme sujet de ce fil. La voici,
Soit [tex]G[/tex] un groupe topologique localement compact tel qu'il existe deux parties compactes [tex]S_1[/tex] et [tex]S_2[/tex] telles que, [tex]G = \langle S_1 \rangle = \langle S_2 \rangle[/tex].
Est ce que forcément, [tex]S_1[/tex] et [tex]S_2[/tex] sont homéomorphes ?

Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Groupe localement compact.

Bonsoir,
Regarde encore $\mathbb{Z}$ et tu ne devrais pas avoir de mal à trouver un contre exemple.

Lille48

Invité

Re : Groupe localement compact.

Bonsoir Glozi,

Merci pour tes indications. Néanmoins, dans [tex]\mathbb{Z}[/tex], il n y a qu'un seul compact [tex] S = \{ 1 \}[/tex] qui engendre [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Donc, on ne peut pas trouver deux compacts [tex]S_1[/tex] et [tex]S_2[/tex] tels que [tex]\langle S_1 \rangle = \langle S_2 \rangle[/tex]. Cela est-il faux ?

Merci d'avance.

Lille48

Invité

Re : Groupe localement compact.

Par exemple, [tex]S_1 = \{ 1 \}[/tex] et [tex]S_2 = \{ 1 , 2 , 5 \}[/tex].
Pourquoi dans [tex]\mathbb{Z}[/tex], [tex]S_1 = \{ 1 \}[/tex] et [tex] S_2 = \{ 1 , 2 , 5 \}[/tex] ne sont pas homéomorphes ?

Lille48

Invité

Re : Groupe localement compact.

Ah, d’accord. Dans [tex]\mathbb{Z}[/tex], [tex]S_1 = \{ 1 \}[/tex] et [tex] S_2 = \{ 1 , 2 , 5 \}[/tex] ne sont pas bijectives.  :-)