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#1 30-11-2023 22:47:48
- tilda
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Continuité de $f^{-1}$
Bonsoir tout le monde.
S'il vous plait , entre espaces métriques , est ce que si f est continue alors $f^{-1}$ l'est ?
Ce que je sais , si f est continue alors $f^{-1}$(ouvert) est un ouvert et par complémentaire $f^{-1}$(fermé) est un fermé ..
Hors ces cas , on ne peut rien dire ?
Merci beaucoup pour toute clarification.
Dernière modification par tilda (30-11-2023 22:55:26)
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#2 01-12-2023 00:00:45
- Glozi
- Invité
Re : Continuité de $f^{-1}$
Bonsoir,
C'est déjà faux pour des fonctions de la variable réelle.
$X=[0,1]\cup ]2,3]$ muni de la distance euclidienne. et $Y=[0,2]$ muni de la distance euclidienne.
et $f : X \to Y$ telle que $f(x)=x$ si $x\in [0,1]$ et $f(x)=x-1$ si $x\in ]2,3]$.
Alors $f$ est continue et bijective mais $f^{-1} : Y \to X$ n'est pas continue.
Bonne soirée
#3 01-12-2023 00:51:11
- bridgslam
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Re : Continuité de $f^{-1}$
Bonjour ,
Si la question est:
Soit f continue bijective entre deux espaces métriques.
Sa réciproque est-elle continue ?
La réponse est non en général.
L'identité de R muni de la distance discrète vers R muni de la distance habituelle est bijective continue.
Mais id({x}) = {x} n'est pas ouverte pour l'une alors que c'est un ouvert pour l'autre.
Un autre contre-exemple est l'application de $[0;2\pi[$ sur $\mathbb{U}$ , $t \rightarrow exp(it)$
Elle vérifie les hypothèses ( bijective, continue)
Mais 1 est limite des points de $\mathbb{U}$ d'arguments $2π-1/n$, puis... à vous de voir.
Quand c'est vrai on parle d'homéomorphisme.
( par exemple si l'espace de départ E est compact vers F séparé
ça marche)
A.
Dernière modification par bridgslam (01-12-2023 13:58:29)
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#6 01-12-2023 01:04:49
- bridgslam
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Re : Continuité de $f^{-1}$
Il me semblait bien qu'il y avait confusion...
Pour se demander si une fonction est continue, il faut déjà qu'elle existe.
Et sans bijection pas de réciproque donc pas de débat sur sa continuité...
Ne pas confondre image réciproque d'une partie et bijectivité.
A.
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#8 01-12-2023 09:03:12
- bridgslam
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Re : Continuité de $f^{-1}$
Bonjour ,
Non, reprendre un bon cours sur les fonctions.
Sinon vous aurez juste une inverse à droite , moyennant l'axiome du choix.
En général présenté en algèbre, ou analyse avec des livres spécialisés sur la topologie.
Indispensable.
A
Dernière modification par bridgslam (01-12-2023 09:55:05)
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#9 01-12-2023 10:04:57
- bridgslam
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Re : Continuité de $f^{-1}$
Bonjour,
Il y a des propriétés qui simplifient les choses.
Quand f est une fonction d'un intervalle I dans R, on a l'équivalence:
- f est un homéomorphisme de I sur f(I)
- f est continue et injective
- f est continue et str. monotone
Dans ce cas particulier , la continuité de la réciproque de f sur f(I) est automatique.
Je vous ai donné un autre exemple précédemment valable même hors espaces métriques.
Bonne journée
A.
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#11 02-12-2023 14:55:20
- bridgslam
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Re : Continuité de $f^{-1}$
Bonjour,
Pour la distance discrète toutes les parties sont ouvertes (et fermées) , en particulier les singletons: la topologie associée est la plus grande possible.
La réciproque de l'identité étant l'identité, il suffit, pour montrer qu'elle n'est pas continue, de voir que l'image directe d'un certain ouvert (à trouver) n'est pas un ouvert.
C'est bien le cas: l'image d'un singleton (donc ouvert pour la distance discrète) est ce singleton lui-même, qui n'est pas ouvert du tout dans l'autre espace
( impossible de trouver un intervalle ouvert inclut dans {x} avec la topologie habituelle de $\mathbb{R}$ ).
Cela suffit à montrer la non continuité de la réciproque.
Trouver d'autres contre-exemples est formateur, cela stimule l'imagination. Je vous y encourage.
A.
Dernière modification par bridgslam (02-12-2023 15:09:34)
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#14 02-12-2023 16:16:01
- bridgslam
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Re : Continuité de $f^{-1}$
Bonsoir,
Pourquoi pour la distance discrète toutes les parties sont ouvertes ?
Parce-que dans un espace métrique les boules ouvertes sont des ouverts (voir les définitions).
Dans un espace discret la distance ( rappel: toute application définie sur ExE à valeurs dans $\mathbb{R} $ avec des propriétés bien spécifiques) est l'application $1 - 1_\Delta$
ou si vous préférez la fonction indicatrice du complémentaire de la diagonale de E. C'est bien une distance...
La boule ouverte de centre x et de rayon 1 est {x}.
Tout est donc à la fois ouvert et fermé.
A.
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#15 02-12-2023 16:33:01
- bridgslam
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Re : Continuité de $f^{-1}$
Dans certaines villes (voire certains campus étudiants) il y a des escaliers où chaque marche conserve une légère pente ( monter plus vite , bon pour la forme, économies... etc).
Si vous regardez la liaison entre l'avancement en projection horizontale, et la position sur le trajet avec les marches successives, vous verrez que vous avez une application bijective, continue dans un sens, mais pas dans l'autre.
Elle n'est donc pas bicontinue.
( pour les morphismes bijectifs en algèbre, par-contre, le morphisme réciproque est assuré, il en va visiblement autrement en topologie ).
Les homéomorphismes sont fondamentaux en topologie car ils échangent exactement les ouverts de chaque espace (dits homéomorphes) par bijection.
Cela revient (avec un exemple concret) à l'exemple que vous a fourni Glozi.
A.
Dernière modification par bridgslam (02-12-2023 17:18:42)
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#16 02-12-2023 17:29:38
- bridgslam
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Re : Continuité de $f^{-1}$
Enfin un point amusant sur l'exemple avec le cercle unité, il n'y a pas homéomorphisme car en ôtant un point à l' intérieur de l'intervalle celui-ci n'est plus connexe, alors que le cercle unité privé du point correspondant reste connexe (un seul tenant)
A.
Dernière modification par bridgslam (02-12-2023 17:48:44)
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