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Darina40

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Différence entre Dimension et rang d'une famille de vecteurs

Bonjour !

J'aurais une question concernant la différence entre la dimension et le rang d'une famille de vecteurs s'il vous plait.
Soit E un e.v engendré par (u1,u2,u3). Les vecteurs libres de cette famille sont (u1, u2).

1-J'ai lu que la dimension d'une famille (en termes simples) correspond au nombre minimal de vecteurs libres formant l'espace vectoriel. C'est à dire le nb d'éléments de la base de cet espace vectoriel. Donc, dans cet exemple, la dim=2.

2-Qu'en est-il du rang ? (par def, si je ne m'abuse, c'est la dim de l'e.v engendré par cette famille. Avec 1) on obtient rang=2.

Je comprends qu'il y'ai une différence si jamais l'espace vectoriel était de dimension 3 (R3), et que le nb de vecteurs libres d'une famille appartenant à cet espace vectoriel, était seulement de 2. (dim=3, rang=2)

Mais, dans le cas où la famille (liée ou pas) engendre un e.v (ou s.e.v), le rang et la dimension de cette famille est le même ?

Est ce quelqu'un peut m'éclairer svp ?

merci ;)

Zebulor

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Re : Différence entre Dimension et rang d'une famille de vecteurs

Bonjour,

Soit E un e.v engendré par (u1,u2,u3). Les vecteurs libres de cette famille sont (u1, u2).

Je ne réponds que partiellement. Je n’ai entendu parler de vecteur libre que dans mes cours de mécanique du solide.. Tu veux peut être dire que la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est libre parce qu elle génère E  : c’en est une base. Mais dès lors toute famille extraite de cette famille de 3 vecteurs est libre aussi, par exemple $(u_1,u_2)$.

Dernière modification par Zebulor (02-12-2023 10:46:48)

bridgslam

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Re : Différence entre Dimension et rang d'une famille de vecteurs

Bonjour, 

Ce ne sont pas des vecteurs en soi qui sont libres, mais une famille.
Si vous affirmez plus correctememt qu'une sous-famille à deux éléments est libre , parmi 3 qui engendrent E, cela revient seulement à dire que E est de dimension 2 ou 3.
C'est 2 si la famille à 3 éléments est liée.

Le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel qu'elle engendre, et la dimension d'une famile ne veut rien dire.
Si la famille est finie, disons de cardinal m, comme la dimension est le cardinal minimal d'une famille génératrice, on a juste que la dimension du sev engendré est m au plus.
Sinon, la propriété d'être libre d'une famille quelconque est comme celles à caractère fini: équivalent à dire que la propriété est vérifiée pour toutes les sous-familles finies.
C'est cohérent avec le fait qu' on ne peut définir des combinaisons linéaires que de familles finies.

Bonne journée
A.

Dernière modification par bridgslam (02-12-2023 11:04:25)