Olympiade mathématique belge

Sosotheboss · 02-11-2023 22:39:58

Bonjour je participe à l'olympiade mathématique belge et je m'entraîne en faisant des questionnaires. Une âme charitable pourrais me donner une méthode pour cette question :Dans un plan, 2 polygones convexes ont l'un 21 côtés et l'autre 45. Combien ont-ils au maximum de points d'intersections ?
Merci de votre réponse

Roro · 02-11-2023 23:20:04

Bonsoir,

Peut être une piste pour commencer : chaque coté de ton polygone à 21 cotés ne peut pas être intersecté plus de 2 fois par l'autre polygone (sinon l'autre ne serait pas convexe).

Roro.

P.S. J'imagine que les deux polygones en question n'ont pas de (morceau de) coté en commun...

Dernière modification par Roro (03-11-2023 19:21:16)

Bernard-maths · 03-11-2023 09:44:02

Bonjour !

La forme des polygones joue un rôle !

Les 2 polygones convexes sont ils réguliers ?

B-m

PS : pour moi c'est 8 ... ou 2 ... éventuellement une infinité ...^-^

Dernière modification par Bernard-maths (03-11-2023 09:50:38)

Roro · 03-11-2023 09:56:49

Bonjour Bernard,

Bernard-maths a écrit :

PS : pour moi c'est 8 ... ou 2 ... éventuellement une infinité ...^-^

J'aurai plus penché pour 42 !

Roro.

Bernard-maths · 03-11-2023 10:34:48

Re,

Roro, tu a raison sans doute !

Il faut envisager les cas où les côtés des deux se croisent réciproquement à la suite ...

Mais il faut surveiller le convexité ...

Dernière modification par Bernard-maths (03-11-2023 12:32:49)

jpp · 03-11-2023 14:30:37

Salut à tous ,

Je suis d'accord avec Roro ,

Je dessine un polygone régulier de 45 côtés et je trace manuellement un polygone de 21 côtés dont chaque côté coupe un angle en deux points distincts. . Trois côtés ne sont pas interceptés.

Bernard-maths · 03-11-2023 16:34:36

Bonjour à tous !

jpp, je suis d'accord avec les 42, c'est ce que je disais avec les côtés qui se croisent ; mais je ne comprnds pas les "trois côtés (qui) ne sont pas interceptés" ...

Je reste avec un petit doute ... + ou - 1 peut être ???

B-m

cailloux · 03-11-2023 16:56:36

Bonjour,
De toute manière, avec 42, on a réponse à tout :Douglas Adams
[Edit] En fait, dès le début de ce fil, j'ai immédiatement pensé à quelques remarques qui auraient été fort désobligeantes pour nos amis belges. Je me suis abstenu. Ma retenue a des limites : avec 42 j'ai craqué.

Dernière modification par cailloux (03-11-2023 17:44:16)

jpp · 03-11-2023 18:11:38

Re

@Bm ;. Les 2 polygones sont convexes . Les trois derniers côtés du P(45) restent à l'intérieur du P(21)

Bernard-maths · 03-11-2023 18:47:46

@ jpp !

Désolé, je ne vois pas ... une figure svp ?

Glozi · 03-11-2023 19:27:43

Bonjour,
L'argument de Roro résout le problème en un claquement de doigts, bravo !

Pour une figure interactive, je propose https://www.cjoint.com/c/MKdrxLcN0kf (peut-être un peu différent de ce que jpp avait en tête).
Bonne journée

Bernard-maths · 03-11-2023 19:54:25

Bonsoir !

Glozi, c'est la figure que j'ai faite ... la tienne est plus complète, et bien réussie !

L'argument de Roro est évidement la base du raisonnement ...

Ce que j'avançai : + ou - 1, ça joue sans doute/peut être si on avait 22 côtés au lieu de 21 ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (03-11-2023 19:55:21)

Glozi · 03-11-2023 20:47:01

Je ne comprends par à quoi correspond ton $\pm 1$, l'argument de Roro dit que le nombre d'intersections est au plus $2m$ où $m$ est le nombre de côtés du polygone ayant le moins de côtés, une construction explicite montre que $2m$ points d'intersections sont toujours possibles, du coup c'est fini, non ?

Bonne soirée

Bernard-maths · 03-11-2023 22:30:56

Re,

oui, peut être, ce sont des supputations que je fais avant de chercher vraiment !

Mais je parlais en dernier du cas où on aurait 22 côtés et non 21 ... peut être que ...

B-m ^-^

Dernière modification par Bernard-maths (04-11-2023 12:04:57)

jpp · 04-11-2023 10:48:26

Salut ;

@Bernard math : je me suis planté quand j'ai dit que 3 côtés du P(45) restaient à l'intérieur .

j'ai fait une figure avec 2 polygones de n & 2n+3 côtés . j'ai pris 5 et 13 pour clarifier .

Avec le pentagone je coupe 10 fois le polygone à 13 côtés .

Une droite ne peut couper un polygone convexe que par 2 points il me semble .

Sosotheboss · 18-11-2023 16:04:35

Bonjour et merci de votre aide, oui la réponse est bien 42 ?et il me semble avoir compris le problème ?.
Néanmoins une question me titille :
Un carré est surmonté par un triangle équilatéral. Ils ont un côté commun de longueur 10 et sont inscrits dans un cercle de sorte que le carré a deux de ses sommets sur le cercle et que le triangle a un seul de ses sommets sur le cercle. Que vaut le rayon du cercle ?? 10 9 3 racine carré de 3
4 racine carré de 3 ou 5 racine carré 3
Je trouve par élimination 10 mais comment démontrer que la réponse est bien 10?
Merci de votre aide

Bernard-maths · 18-11-2023 18:34:11

Bonjour !

La question que tu poses est un autre problème, tu aurais du ouvrir une autre discussion !!!

Je vais néanmoins te suggérer 2 pistes possibles, une calculatoire dans un repère, l'autre géométrique.

Dans cette figure BCE est le triangle équilatéral "surmontant" le carré ABCD. Le cercle circonscrit à la figure est aussi le cercle circonsrit au triangle AED. Montrer que F est le centre du cercle !

1) par calcul, montrer que F est situé sur la médiatrice de [AE], et donc ...

2) nature de ABEF ? en déduire que (BF) est la médiatrice de [AE], et donc ...

Je te laisse chercher la suite d'un des raisonnements ... ou les 2.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-11-2023 18:36:58)

Sosotheboss · 26-11-2023 21:01:31

Re, j'ai demandé à un prof de math et il m'a expliqué mais merci pour ta réponse si rapide ????.

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