Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tilda

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Mesures positives

Bonjour tout le monde.

Soit (X,M,m) espace mesuré. $n \in N$
S'il vous plait , si j'ai une suite $(A_n)$ croissante d'éléments d'une tribu M ,
et j'ai que (lim n->+l'infini m$(A_n)$>0) est ce que ceci implique qu'il existe ${n_0} \in N$ , tel que m$(A_{n_0})$>0 ? est-ce qu'on aura à utiliser la croissance de $(A_n)$ pour voir ceci ?

Merci beaucoup d'avance.

Dernière modification par tilda (24-11-2023 16:11:52)

Michel Coste

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Re : Mesures positives

Bonsoir,
On peut toujours se ramener à une suite croissante en posant $B_n=\bigcup_{k=0}^n A_k$. Et il ne faut pas oublier la propriété de continuité de la mesure.

Glozi

Invité

Re : Mesures positives

Bonsoir,
Je pense que la question est plus une question sur les suites que sur les espaces mesurés : si $u_n \xrightarrow[n\to \infty]{}\ell>0$ est-ce que cela implique qu'il existe un $n_0\geq 0$ tel que $u_{n_0}>0$ ?
Appliquer cela à la suite $u_n = m(A_n)$
Ou alors je n'ai pas compris la question...
Bonne soirée

tilda

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Re : Mesures positives

Bonsoir,
On peut toujours se ramener à une suite croissante en posant $B_n=\bigcup_{k=0}^n A_k$. Et il ne faut pas oublier la propriété de continuité de la mesure.

Bonsoir ,
Est-ce que $B_n$ est croissante si les $A_k$ ne sont pas croissantes  ?
En quoi peut-on utiliser la continuité de la mesure ?

Dernière modification par tilda (24-11-2023 19:47:53)

tilda

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Re : Mesures positives

Bonsoir,
Je pense que la question est plus une question sur les suites que sur les espaces mesurés : si $u_n \xrightarrow[n\to \infty]{}\ell>0$ est-ce que cela implique qu'il existe un $n_0\geq 0$ tel que $u_{n_0}>0$ ?
Appliquer cela à la suite $u_n = m(A_n)$
Ou alors je n'ai pas compris la question...
Bonne soirée

Bonsoir ,
Je pense que si $u_n$ converge vers l>0 alors $u_n<=l$.
Donc il existe un $n_0$ positif tel que $u_{n_0}$>0 ?

Dernière modification par tilda (24-11-2023 21:23:01)

Glozi

Invité

Re : Mesures positives

Je pense que si $u_n$ converge vers l>0 alors $u_n<l$.

C'est très faux, par exemple $u_n = \ell+\frac{1}{2^n}$.

Donc il existe un $n_0$ positif tel que $u_{n_0}$>0 ?

"Donc" signifie qu'il y a un lien logique, ici je ne le vois pas...

Exercice : En revenant à la définition de la limite, montrer que si une suite réelle $u$ converge vers un réel $\ell$ strctement positif, alors la suite $u$ est strictement positive à partir d'un certain rang. Indice : on pourra poser judicieusement $\varepsilon = \ell/2$.

Michel Coste

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Re : Mesures positives

Si tu réfléchis un peu plus de deux secondes, je pense que tu pourras démontrer que quelle que soit la suite $(A_n)$ de parties de $X$, la suite $(B_n)$ définie par $B_n=\bigcup_{k=0}^n A_k$ est croissante.
Je pense que ta vraie question porte sur : si $m(\bigcup_n A_n)>0$, existe-t-il un $n_0$ tel que $m(A_{n_0})>0$. Car telle que tu l'as formulée, ta question n'a rien à voir avec les mesure et est juste une propriété de base des limites, comme le dit Glozi.
Pour cette vraie question, on peut remarque que $\bigcup_n A_n=\bigcup_n B_n$ et que $m(\bigcup_n B_n)=\lim_{n\to\infty} m(B_n)$ par continuité de la mesure.

tilda

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Re : Mesures positives

Je pense que si $u_n$ converge vers l>0 alors $u_n<l$.

C'est très faux, par exemple $u_n = \ell+\frac{1}{2^n}$.

Donc il existe un $n_0$ positif tel que $u_{n_0}$>0 ?

"Donc" signifie qu'il y a un lien logique, ici je ne le vois pas...

Exercice : En revenant à la définition de la limite, montrer que si une suite réelle $u$ converge vers un réel $\ell$ strctement positif, alors la suite $u$ est strictement positive à partir d'un certain rang. Indice : on pourra poser judicieusement $\varepsilon = \ell/2$.

Merci énormément Glozi.

En utilisant la définition de la limite : pour tout epsilon strict positif , il existe un rang qui dépend d'epsilon strict positif , $|u_n - l|$<epsilon
si on prend le rang=epsilon=l/2 ,   $0<l-l/2<u_{nrang}<l+l/2$

Dernière modification par tilda (25-11-2023 21:49:43)