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#3 21-11-2023 16:56:52
- tilda
- Membre
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Re : Continuité et graphe
$G={(x,y) \in E*F / y=f(x)}$
f est continue donc $f^{-1}$(ouvert) est un ouvert ,
est ce qu'on a aussi $f^{-1}$(fermé) est un fermé ? si oui, pourquoi ?
Dernière modification par tilda (21-11-2023 16:59:14)
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#4 21-11-2023 19:19:14
- bridgslam
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Re : Continuité et graphe
Bonjour,
Enoncé peu clair.
Si E et F sont des parties de $\mathbb{R}$ vous pouvez considérer g: E x F -> $\mathbb{R}$ (x,y) -> y-f(x) qui est continue et permet de conclure immédiatement.
Même idée si E et F sont des espaces métriques.
Dans le cas général considérer ExF -> FxF (x,y) -> (f(x), y ) .
Dans ce cas, si F est séparé, sachant que la diagonale de FxF est fermée, vous pouvez conclure aussi en prenant son image réciproque.
A.
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#7 22-11-2023 10:00:36
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité et graphe
Bonjour
Comme le sous-tend mon premier post merci de préciser d'abord le contexte du sujet.
Quand on travaille en topologie , il y a une structure derrière qui est indispensable.
Vous n'étudierez jamais un groupe ou un anneau sans connaître les opérations en vigueur...
C'est pareil en analyse.
Bonne journée
A.
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#9 22-11-2023 10:28:48
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Continuité et graphe
Bonjour,
Tilda, es-tu d'accord qu'une application $f : E\to F$ est continue si et seulement si pour tout ouvert $V$ de $F$, $f^{-1}(V)$ est ouvert dans $E$ (c'est la définition de "continue" en topologie générale) ?
Alors tu peux démontrer que $f$ est continue si et seulement si pour tout fermé $B$ de $F$, $f^{-1}(B)$ est fermé dans $E$. Il suffit d'utiliser les propriétés de l'image réciproque et de te souvenir qu'un fermé, c'est juste le complémentaire d'un ouvert.
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#10 22-11-2023 11:08:15
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Continuité et graphe
Pas de souci Tilda. Merci d'avoir précisé.
Dans un espace métrique (ou des espaces un peu plus généraux d'ailleurs) un point est adhérent à une partie A ssi il est la limite d'une suite convergente à valeurs dans A.
Ainsi montrer qu'une partie est fermée (donc égal à sa fermeture) revient à montrer qu'elle contient les limites de ses suites convergentes.
Vôtre question revient donc à montrer que si une suite de points du graphe converge dans ExF, sa limite appartient aussi au graphe.
Une façon de faire un peu plus générale, si vous préférez:
les applications g et p de ExF vers F telles que g(x,y) =f(x) et p(x,y) = y étant continues (facile) ,l'ensemble des points (u,v) tels que g et p prennent la même valeur est un fermé dans ExF ( F étant séparé comme espace métrique). Quel est cet ensemble ?
Ce genre de propriété est à la base du principe de prolongement des identités ( l'espace d'arrivée doit être fermé).
La preuve en est aisé (bon exercice: montrer que le complémentaire est ouvert).
Enfin tout ceci tourne autour du même pot (blanc bonnet et bonnet blanc si on préfère): avec ce résultat un peu plus général vous pouvez montrer (même si une preuve directe est très simple et courte) que la diagonale de FxF est fermée si F est séparé. Bon exercice aussi ( indice: considérer les projections de FxF dans F, en somme faire E=F du résultat précédent et prendre f = id comme cas particulier, g devenant la première projection).
Bref il y a pas mal de façons de vous en sortir.
A.
Dernière modification par bridgslam (22-11-2023 21:08:51)
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