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Arno_1111

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Micro Eco: cours à l'équilibre, taux actuariel d'une obligation

Bonjour,

Je cherche à resoudre l'exercice suivant sans succès malgré de nombreux essais et recherches ...

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On considère en date 0 la structure par termes des zero-coupons suivante pour des obligations sans risque de defaut.                   

"Maturité
(en années)"       1                2             3          4               5
STTI en date 0     3.50%     4.60%    5%       5.30%    5.40%

Verifier que si le cours est à l'équilibre, le taux actuariel d'une obligation sans risque de defaut de duree de vie residuelle cinq ans et de taux facial 4% est de 5.36%

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Quelqu'un saurait-il m'éclairer ?

Je vous en remercie par avance.

Arno

SAGE 63

Invité

Re : Micro Eco: cours à l'équilibre, taux actuariel d'une obligation

Bonjour à tous                                                                   
En consultant internet j'ai trouvé sur le site suivant :                                                                   
                                                                   
https://www.marchesdetauxdinteret.fr/                                                                   
                                                                   
l'ouvrage de Carole Gresse intitulé MARCHES DE TAUX D'INTERET                                                                   
                                                                   
On trouve en annexe le corrigé du chapître 6,1 se rapportant à la solution du problème étudié.                                                                   
                                                                   
Madame Carole GRESSE utilise une formule que je ne connaissais pas pour donner la solution au                                                                    
problème qu'elle étudie.                                                                   
                                                                   
Je présenterais ma solution pour résoudre ce problème (qui donnera une solution identique) et je pourrais alors résoudre le problème soulevé par  ARNO 1111                                                                   
                                                                   
PREMIERE PARTIE                                                                    
                                                                   
A - LE PROBLEME PRESENTE PAR CAROLE GRESSE                                                                   
                                                                   
* pour une maturité de            1    an, le TRA est de        2,50%    et le taux zéro-coupon est de                    2,5000%                   
* pour une maturité de            2    ans, le TRA est de        3,00%    et le taux zéro-coupon est de                    3,0075%                   
* pour une maturité de            3    ans, le TRA est de        3,25%    et le taux zéro-coupon est de                    3,2637%                   
* pour une maturité de            4    ans, le TRA est de        2,75%    et le taux zéro-coupon est de                    2,7377%

SAGE 63

Invité

Re : Micro Eco: cours à l'équilibre, taux actuariel d'une obligation

B - UNE SOLUTION POSSIBLE AU PROBLEME POSE PAR CAROLE GRESSE                                                               
                                                               
On a les éléments de calcul suivant  :                                                               
                                                               
Maturité     1    an =          2,50%     de taux rendement actuariel                                           
Maturité     2    ans=        3,00%     de taux rendement actuariel                                           
Maturité     3    ans=        3,25%     de taux rendement actuariel                                           
Maturité     4    ans=        2,75%     de taux rendement actuariel                                           
                                                               
                                                               
I - CALCUL DU TAUX DE RENDEMENT A 1 AN                                                               
                                                               
Notons     y₁    le taux de rendement de maturité                1                                       
    z₁    le taux zéro -coupon à 1 an                                                       
                                                               
En l'absence d'opportunité d'arbitrage la valeur à                    1    an, soit  100% , doit                                       
respecter l'égalité suivante :                                                               
                                                               
1,0000     =     1,02500        /    ( 1 + z₁ )                                               
                                                               
( 1 + z₁ )     =     1,02500        /     1,0000                                                  
( 1 + z₁ )     =     1,02500                                                          
z₁     =     1,02500       -1                                                   
z₁     =     0,02500               pour 1 soit             2,500       %                           
                                                               
Le taux zéro-coupon à 1 an est de                  2,500       %                                           
                                                               
II - CALCUL DU TAUX DE RENDEMENT A 2 ANS                                                               
                                                               
Notons     y₂    le taux de rendement de maturité                2                                       
    z₂    le taux zéro -coupon à  2 ans                                                       
                                                               
En l'absence d'opportunité d'arbitrage la valeur à                    2    ans, soit  100% , doit                                       
respecter l'égalité suivante :                                                               
                                                               
1,0000        = [     0,030000        /    ( 1 + z₁ )  ]  +  [         1,03000        /    ( 1 + z₂ ) ²   ]                                 
                                                               
1,0000        =     0,030000        /     1,0250000       ]+[     1,03000        /    ( 1 + z₂ ) ²   ]                                 
1,0000        =      0,029268        + [     1,0300000        /    ( 1 + z₂ ) ²   ]                                         
1,0000           -0,029268        =     1,0300000        /    ( 1 + z₂ ) ²                                          
         0,970732        =     1,0300000        /    ( 1 + z₂ ) ²                                           
        ( 1 + z₂ ) ²         =     1,0300000        /     0,970732                                          
        ( 1 + z₂ ) ²         =     1,0610553                                                  
        ( 1 + z₂ ) ²       =     1,0300754           -1,000000                                          
         z₂      =     0,030075       pour 1 soit             3,0075       %                           
                                                               
Le taux zéro-coupon à 2 ans est de                  3,0075       %                                           
                                                               
III - CALCUL DU TAUX DE RENDEMENT A 3 ANS                                                               
                                                               
Notons     y₃    le taux de rendement de maturité                3                                       
    z₃    le taux zéro -coupon à  3 ans                                                       
                                                               
En l'absence d'opportunité d'arbitrage la valeur à                    3    ans, soit  100% , doit                                       
respecter l'égalité suivante :                                                               
                                                               
1,0000        = [     0,032500        /    ( 1 + z₁ )  ]  +  [         0,03250        /    ( 1 + z₂ ) ²   ]       + [     1,03250        /    ( 1 + z₃ ) ³   ]                 
                                                               
1,0000        =     0,032500        /     1,0250000       ]+[     0,03250        /    1,0300754    ²]+[     1,03250        /    ( 1 + z₃ ) ³   ]                 
1,0000        =      0,031707        + [     0,0325000        /    1,0610553    ] +[     1,03250        /    ( 1 + z₃ ) ³   ]                         
1,0000        =     0,031707        +      0,0306299        + [     1,03250        /    ( 1 + z₃ ) ³   ]                                 
1,0000        =     0,062337        + [     1,03250        /    ( 1 + z₃ ) ³   ]                                         
1,0000           -0,062337        =     1,03250        /    ( 1 + z₃ ) ³                                          
         0,937663        =     1,03250        /    ( 1 + z₃ ) ³                                          
        ( 1 + z₃ ) ³        =     1,03250        /     0,937663                                          
        ( 1 + z₃ ) ³        =     1,101142                                                  
        ( 1 + z₃ )        =     1,032637                                                  
         z₃    =     1,032637           -1,00000                                          
         z₃    =     0,0326373       pour 1 soit             3,2637       %                           
                                                               
Le taux zéro-coupon à 3 ans est de                  3,2637       %                                           
                                                               
IV - CALCUL DU TAUX DE RENDEMENT A 4 ANS                                                               
                                                               
Notons     y₅    le taux de rendement de maturité                4                                       
    z₅    le taux zéro -coupon à  4 ans                                                       
                                                               
En l'absence d'opportunité d'arbitrage la valeur à                    4    ans, soit  100% , doit                                       
respecter l'égalité suivante :                                                               
                                                               
1,0000        = [     0,027500        /    ( 1 + z₁ )  ]  +  [         0,02750        /    ( 1 + z₂ ) ²   ]       + [     0,02750        /    ( 1 + z₃ ) ³   ]       + [     1,02750        /    ( 1 + z₄ ) ⁴   ] 
                                                               
1,0000        =     0,027500        /     1,0250000       ]+[     0,02750        /    1,0300754    ²]+[     0,02750        /    1,03263726    ³]           
1,0000        =      0,026829        + [     0,0275000        /     1,061055       ] +[     0,02750        /    1,101142    ]+[     1,02750        /    ( 1 + z₄ ) ⁴   ]         
1,0000        =     0,026829        +      0,0259176        +      0,02497         +  [     1,027500        /    ( 1 + z₄ ) ⁴   ]                         
1,0000        =     0,077721        + [     1,02750        /    ( 1 + z₄ ) ⁴   ]                                         
1,0000           -0,077721        =     1,02750        /    ( 1 + z₄ ) ⁴                                         
         0,922279        =     1,02750        /    ( 1 + z₄ ) ⁴                                         
        ( 1 + z₄ ) ⁴       =     1,02750        /     0,922279                                          
        ( 1 + z₄ ) ⁴       =     1,114088                                                  
        ( 1 + z₄ )      =     1,027377                                                  
         z₄     =     1,027377           -1,00000                                          
         z₄     =     0,027377       pour 1 soit             2,7377       %                           
                                                               
Le taux zéro-coupon à 4 ans est de                  2,7377       %

SAGE 63

Invité

Re : Micro Eco: cours à l'équilibre, taux actuariel d'une obligation

DEUXIEME PARTIE                                                           
                                                           
A - LE PROBLEME POS2 PAR ARNO 1111                                                           
                                                           
On a les éléments de calcul suivant  :                                                           
                                                           
Maturité     1    an =          3,50%     de taux rendement actuariel                                       
Maturité     2    ans=        4,60%     de taux rendement actuariel                                       
Maturité     3    ans=        5,00%     de taux rendement actuariel                                       
Maturité     4    ans=        5,30%     de taux rendement actuariel                                       
Maturité     5    ans=        5,40%     de taux rendement actuariel                                       
                                                           
B - UNE SOLUTION POSSIBLE AU PROBLEME POSE PAR ARNO 1111                                                           
                                                           
                                                           
I - CALCUL DU TAUX DE RENDEMENT A 1 AN                                                           
                                                           
Notons     y₁    le taux de rendement de maturité                1                                   
    z₁    le taux zéro -coupon à 1 an                                                   
                                                           
En l'absence d'opportunité d'arbitrage la valeur à                    1    an, soit  100% , doit                                   
respecter l'égalité suivante :                                                           
                                                           
1,0000     =     1,03500        /    ( 1 + z₁ )                                           
                                                           
( 1 + z₁ )     =     1,03500        /     1,0000                                              
( 1 + z₁ )     =     1,03500                                                      
z₁     =     1,03500       -1                                               
z₁     =     0,03500               pour 1 soit             3,500       %                       
                                                           
Le taux zéro-coupon à 1 an est de                  3,500       %                                       
                                                           
II - CALCUL DU TAUX DE RENDEMENT A 2 ANS                                                           
                                                           
Notons     y₂    le taux de rendement de maturité                2                                   
    z₂    le taux zéro -coupon à  2 ans                                                   
                                                           
En l'absence d'opportunité d'arbitrage la valeur à                    2    ans, soit  100% , doit                                   
respecter l'égalité suivante :                                                           
                                                           
1,0000        = [     0,046000        /    ( 1 + z₁ )  ]  +  [         1,04600        /    ( 1 + z₂ ) ²   ]                             
                                                           
1,0000        =     0,046000        /     1,0350000       ]+[     1,04600        /    ( 1 + z₂ ) ²   ]                             
1,0000        =      0,044444        + [     1,0460000        /    ( 1 + z₂ ) ²   ]                                     
1,0000           -0,044444        =     1,0460000        /    ( 1 + z₂ ) ²                                      
         0,955556        =     1,0460000        /    ( 1 + z₂ ) ²                                       
        ( 1 + z₂ ) ²         =     1,0460000        /     0,955556                                      
        ( 1 + z₂ ) ²         =     1,0946512                                              
        ( 1 + z₂ ) ²       =     1,0462558           -1,000000                                      
         z₂      =     0,046256       pour 1 soit             4,6256       %                       
                                                           
Le taux zéro-coupon à 2 ans est de                  4,6256       %                                       
                                                           
III - CALCUL DU TAUX DE RENDEMENT A 3 ANS                                                           
                                                           
Notons     y₃    le taux de rendement de maturité                3                                   
    z₃    le taux zéro -coupon à  3 ans                                                   
                                                           
En l'absence d'opportunité d'arbitrage la valeur à                    3    ans, soit  100% , doit                                   
respecter l'égalité suivante :                                                           
                                                           
1,0000        = [     0,050000        /    ( 1 + z₁ )  ]  +  [         0,05000        /    ( 1 + z₂ ) ²   ]       + [     1,05000        /    ( 1 + z₃ ) ³   ]             
                                                           
A TERMINER - A TERMINER- A TERMINER

IV - CALCUL DU TAUX DE RENDEMENT A 4 ANS                                                                   
                                                                   
Notons     y₅    le taux de rendement de maturité                4                                           
    z₅    le taux zéro -coupon à  4 ans                                                           
                                                                   
En l'absence d'opportunité d'arbitrage la valeur à                    4    ans, soit  100% , doit                                           
respecter l'égalité suivante :                                                                   
                                                                   
1,0000        = [     0,053000        /    ( 1 + z₁ )  ]  +  [         0,05300        /    ( 1 + z₂ ) ²   ]       + [     0,05300        /    ( 1 + z₃ ) ³   ]       + [     1,05300        /    ( 1 + z₄ ) ⁴   ]     

A TERMINER - A TERMINER

V - CALCUL DU TAUX DE RENDEMENT 5 ANS                                                                               
                                                                               
Notons     y₅    le taux de rendement de maturité                5                                                       
    z₅    le taux zéro -coupon à  ( ans                                                                       
                                                                               
En l'absence d'opportunité d'arbitrage la valeur à                    5    ans, soit  100% , doit                                                       
respecter l'égalité suivante :                                                                               
                                                                               
1,0000        = [     0,054000        /    ( 1 + z₁ )  ]  +  [         0,05400        /    ( 1 + z₂ ) ²   ]       + [     0,05400        /    ( 1 + z₃ ) ³   ]       + [     0,05400        /    ( 1 + z₄ ) ⁴   ]       + [     1,05400        /    ( 1 + z₅ ) ⁵   ]

A TERMINER - A TERMINER

VI - CONCLUSION

A TERMINER - A TERMINER