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Yosar68

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Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Bonjour j'ai un résultat que je n'arrive pas à prouver. L'énoncé est le suivant :

On considère l'isomorphisme unitaire $U$ de $L^2(\mathbb{R})$ sur $\ell^2(\mathbb{N})$
tel que $U:f\mapsto (\langle f,e_n\rangle)_n$ où $(e_n)_n$ est une base hilbertienne de $L^2$, plus précisément, $e_n=H_n\exp{-\frac{x^2}{2}}$, les fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique : $He_n=\lambda_ne_n$ avec $\lambda_n=(n+\frac{1}{2})$ et $H_n$ est le $n-ieme$ polynôme de Hermite.

On def l'espace $s(\mathbb{N})$ comme l'espace des suites à décroissance rapide, c'est à dire $(a_n)_n\in s(\mathbb{N})$
si et seulement si pour tout $k$, $(n^ka_n)_n$ est bornée.

Le but est de montrer que $U(\mathcal{S})=s(\mathbb{N})$

Pour le sens $\subset$, j'ai utilisé que si $f\in\mathcal{S}$, alors $H^kf\in\mathcal{S}$ ($H=\frac{1}{2}(-\partial_x^2+x^2)$) et (par une question précédente) cela implique $(\lambda_n^ka_n)n \in\ell^2$ (où $(a_n)_n=U(f)$)

Cependant impossible de faire le sens réciproque $U^{-1}(s)\subset\mathcal{S}$, avez vous une idée ?

Lars

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Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Bonsoir,

Dans les questions précédentes, avez-vous estimé en norme 2 ou en norme infinie $x^p e_n, e_{n}^{(p)} $ ?

Yosar68

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Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Bonjour, c'est la première idée que j'ai eu, mais pas d'estimation du genre dans les questions précédentes. Je ne suis pas arrivé à trouver une borne, mais je vois bien qu'on en aimerait une du type $\|x^{\beta_1} e_n^{(\beta_2)}\|_{\infty}\leq C\times n^\alpha$. Par contre, je pense peut être pouvoir borner ça en norme $L^2$, mais je ne vois pas en quoi cela nous aidera ?

Dans les questions précédentes, on montre que $UHU^{-1}(a_n)_n=(\lambda_na_n)_n$ et que $f\in D(\bar{H})$ ssi la suite $U(f)=(a_n)_n$ vérifie $(\lambda_na_n)_n\in\ell^2$

Lars

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Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Bonjour,

Je ne comprends pas ce que signifie $f\in D\bar H$. Qui est $D$ ?

Les estimations en norme infinie existent mais je les connais pas.
En norme 2, en utilisant l'edo satisfaite par $e_n$, on peut estimer facilement $||e_{n}^{'}||_{2}$. Cette estimation suffit pour traiter la question, mais ce n'est pas dans l'esprit de l'exercice (j'utilise des connaissances sur les distributions : dérivation, convergence, et espaces de Sobolev d'indices entier).
Je pense plutôt qu'il faut comprendre les résultats obtenus aux questions précédentes. Je ne vois pas.

Lars

Invité

Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Bonjour,

Je ne comprends pas ce que signifie $f\in D\bar H$. Qui est $D$ ?

Les estimations en norme infinie existent mais je les connais pas.
En norme 2, en utilisant l'edo satisfaite par $e_n$, on peut estimer facilement $||e_{n}^{'}||_{2}$. (*) voir ps
Cette estimation suffit pour traiter la question, mais ce n'est pas dans l'esprit de l'exercice (j'utilise des connaissances sur les distributions : dérivation, convergence, et espaces de Sobolev d'indices entier). (
Je pense plutôt qu'il faut comprendre les résultats obtenus aux questions précédentes. Je ne vois pas.

PS : (*) en voulant le rédiger, je m'aperçois que j'ai également besoin d'estimation des normes 2 des dérivées d'ordre p. Et je ne vois pas comment faire pour les obtenir facilement...

Yosar68

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Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

$D(\bar{H})$ est le domaine de la fermeture de $(H,D(H))$, sachant que $D(H)=\mathcal{S}$. Je n'ai jamais eu besoin d'expliciter le domaine, mais je crois que c'est $H^2$, le sobolev d'ordre 2.

Je n'ai pas eu besoin d'utiliser de distribution pour l'instant, mais il y en a dans la question suivante, à ce compte, je vais donner toute les questions précédentes a cas où :

https://ibb.co/ftmVDhg

Dernière modification par Yosar68 (16-11-2023 19:12:29)

Lars

Invité

Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Bonjour,

Je n'ai pas étudié le dernier message. J'ai regardé avec les normes infinies.
On peut montrer, en revenant aux polynômes de Hermite, deux relations du type
$e_{n}^{'}=a_n e_{n+1}+b_n e_{n-1}$ (1)
$xe_{n}=c_n e_{n+1}+d_n e_{n-1}$ (2) où $a,b,c,d$ sont des constantes explicites et sont des $O(\sqrt n) $

Par ailleurs en reprenant l'edo vérifiée par $e_n$ à laquelle on applique un produit scalaire avec $e_n$ puis ipp, on trouve que $||e'_n||_{L^2}=O(\sqrt n)$

Enfin en écrivant $\forall x\in \R, e_{n}^{2} (x) =-2\int_{x}^{+\infty} e_ne'_n$ et en utilisant Cauchy-Schwarz, on obtient norme infinie de $e_n$ ets un grand d'une puissance de n (1/4).

Les relations 1 et 2 donnent alors que les semi normes N_p de l'espace de Schwartz S, verifient $\forall p,n N_p(h_n)=O(n^{\alpha p})$

Lars

Invité

Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Bonjour,

Je n'ai pas étudié le dernier message. J'ai regardé avec les normes infinies.
On peut montrer, en revenant aux polynômes de Hermite, deux relations du type
$e_{n}^{'}=a_n e_{n+1}+b_n e_{n-1}$ (1)
$xe_{n}=c_n e_{n+1}+d_n e_{n-1}$ (2) où $a,b,c,d$ sont des constantes explicites et sont des $O(\sqrt n) $

Par ailleurs en reprenant l'edo vérifiée par $e_n$ à laquelle on applique un produit scalaire avec $e_n$ puis ipp, on trouve que $||e'_n||_{L^2}=O(\sqrt n)$

Enfin en écrivant $\forall x\in \R, e_{n}^{2} (x) =-2\int_{x}^{+\infty} e_ne'_n$ et en utilisant Cauchy-Schwarz, on obtient norme infinie de $e_n$ ets un grand d'une puissance de n (1/4).

Les relations (1) et (2) donnent alors, par récurrence, que les semi normes $N_p$ (le détail du choix des semi normes n'a pas d'importance, ça n'impacte que la constante $\alpha_p$) de l'espace de Schwartz S, verifient $\forall p, N_p(h_n)=O(n^{\alpha_p})$

Soit alors $f=\sum a_n e_n$ où $a$ est à décroissance rapide. On vérifie que $\forall p, \sum |a_n| N_p(h_n) <+\infty$ ce qui traduit, en considérant des paquets de Cauchy, la convergence de la série vers un élément de l'espace de Schwartz $S$, c'est à dire $f\in S$.

Lars

Invité

Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Je viens de lire l'énoncé complet.
La preuce par inégalités de norme infinie n'est pas la preuve attendue.
Mais je ne vois pas comment faire. Certaines notions d'analyse hilbertienne de cet énoncé m'échappent.

Par ailleurs, j'indiquais une piste avec les normes L2. J'ai réussi à lever la difficulté que j'indiquais dans un précédent message. Je l'ai levée en considérant les normes L2 des $x^ph_n$ pour lesquelles j'obtiens une inégalité récurrente à trois termes qui permet de contrôler les termes. En considérant la transformation de Fourier, on constate que le problème est dual entre f et sa transformée (ça vient de la TF des $h_n$ que j'ai calculée avec l'edo). Ça permet de montrer que $f$ est de classe C infini (car, en faisant court, $f$ est dans tous les Sobolev d'indice entier) puis est à décroissance rapide (juste $ f,$ pas ses dérivées). Ensuite, j'ai prouvé $f''$ à decroissance rapide en utilisant l'opérateur $H$ mais je n'ai pas vu comment poursuivre en faisant une récurrence utilisant l'opérateur $H$. Bref, ça doit pouvoir aboutir mais c'est quand même compliqué.

Lars

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Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Bonjour,

Légère simplification d'une preuve donnée plus haut.
Avec les deux formules (1) et (2) qui donnent $e'_n, xe_n$, on montre que si $f=\sum a_ne_n$ où $a$ est à décroissance rapide, alors $xf=\sum b_ne_n, f'=\sum c_ne_n$ où $b$ et $c$ sont à décroissance rapide (il y a quelques justifications à donner mais je pense que dans l'exercice, on a déjà montré que ces séries convergent partout sur $\R$, sinon voir plus bas. Pour la dérivée, utiliser : convergence norme infinie implique convergence au sens des distributions, utiliser la dérivée au sens des distributions, puis constater, après calculs, que c'est la dérivée ordinaire).
Ainsi, par récurrence, $\forall p, q, x^(p)f^(q)=\sum d_n e_n$ où $d$ est à décroissance rapide.
Il suffit donc de prouver que f est bornée pour conclure.
Comme $\sum |a_n| ||h_n||_{\infty} <+\infty$ la série converge uniformément vers une fonction continue bornée (c'est à dire $f$ est continue bornée).
On utilise une estimation de $||h_n||_{\infty} <+\infty$ donnée dans un précédent message.

NB dans le précédent message, on avait prouvé un résultat plus fort, à savoir une convergence de la série dans l'espace de Schwartz $S$. Ici on prouve juste que la fonction continue $f$ est dans l'espace de Schwartz S, et que la convergence de la série est uniforme.

Yosar68

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Messages : 6

Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Bonjour

Merci pour votre réponse, effectivement les formules (1) et (2) plus la tactique pour majorer la norme inf en utilisant cauchy schwarz est très stylé et fonctionne bien. Après, les formules (1) et (2) demandent pas mal de travail en elle même vu qu'on a rien dit sur les polynômes de Hermite pour l'instant, mais je note cette façon de faire. Si je trouve la façon attendu de faire (qui a mon avis doit utilisé uniquement des prop hilbertiennes vu les questions d'avant) je viendrai la poster.

Lars

Invité

Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Bonsoir,

Pour prouver les relations (1), (2), je pense que vous pouvez les obtenir en simplifiant $(A+A^{¥})e_n,(A-A^{¥})e_n$ et en utilisant les questions 1 et 2 et le calcul de $c_n$.
NB Je n'ai pas fait le calcul !!!

Rem : (à une constante de Planck réduite près), les opérateurs $x$ et $\partial x$ sont les opérateurs quantiques de position et d'impulsion à une dimension avec lesquels on illustre dans un cas simple le principe d'incertitude de Heisenberg. Si je ne dis pas de bêtise, les opérateurs  $A, A^{¥} $ sont les opérateurs de création et de destruction d'énergie, je ne suis pas sûr du nom. Si un physicien lit ce passage, il pourra corriger voire infirmer.

Lars

Invité

Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Voir paragraphe oscillateur harmonique quantique à 1 dimension.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Oscilla … _quantique
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A … 3%A9chelle

Lars

Invité

Re : Espace de Schwartz et suite à décroissance rapide

Autre rem.
On peut également ajouter que la base hilbertienne $(e_n) $, que tout le monde note $h_n$ sauf l'auteur de l'énoncé, diagonalise la transformée de Fourier Plancherel. Il existe même une construction (ce n'est pas la plus classique) de la transformée de Fourier Plancherel à partir des $h_n$ (il me semble : Wiener ~1930).