Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Toni

Invité

Exo fonction

Bonjour, un exercice me demande de citer une fonction f allant de R vers R tel que cette fonction est discontinue en tout point de R ,mais lfl ( f en valeur absolue) est continue sur R.
J'espère que quelqu'un me donne un tel type de fonction qui vérifie celà.

Merci beaucoup.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exo fonction

Bonjour,

  J'imagine que tu as déjà vu une fonction discontinue en tout point de $\mathbb R$.
Je te conseille de partir de cette fonction, et de la modifier un peu de sorte que :
* elle reste discontinue en tout point de $\mathbb R$
* sa valeur absolue est toujours égale à $1$ et est donc continue sur $\mathbb R$.

Est-ce que tu vois?

F.

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 357

Re : Exo fonction

Bonjour

$f(x) = \left\{
    \begin{array}{ll} x & \mbox{si}  \space x \in \mathbb{Q} \\ -x  & \mbox{sinon}.
    \end{array}
\right.$

Cordialement,
Rescassol

Toni

Invité

Re : Exo fonction

Bonjour,

  J'imagine que tu as déjà vu une fonction discontinue en tout point de $\mathbb R$.
Je te conseille de partir de cette fonction, et de la modifier un peu de sorte que :
* elle reste discontinue en tout point de $\mathbb R$
* sa valeur absolue est toujours égale à $1$ et est donc continue sur $\mathbb R$.

Est-ce que tu vois?

F.

Bonjour,Non ,j'ai pas vu un exemple qui vérifie celà.
Je peux pas donner un type de fonction qui est discontinue en tout point de R .

Toni

Invité

Re : Exo fonction

Bonjour

$f(x) = \left\{
    \begin{array}{ll} x & \mbox{si}  \space x \in \mathbb{Q} \\ -x  & \mbox{sinon}.
    \end{array}
\right.$

Cordialement,
Rescassol

Bonjour Rescassol,  comment je peux montrer que cette fonction est discontinue sur R.( Notamment sur Q).

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Exo fonction

bonjour,

$1_{\mathbb{Q}} - 1_{\mathbb{R} - \mathbb{Q}}$ est un autre exemple, avec au bout la continuité d'une fonction constante.

A.

Toni

Invité

Re : Exo fonction

bonjour,

$1_{\mathbb{Q}} - 1_{\mathbb{R} - \mathbb{Q}}$ est un autre exemple, avec au bout la continuité d'une fonction constante.

A.

Merci pour vos tous pour votre aide.
Mais. Comment montrer que cette fonction est discontinue sur tout R ?

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Exo fonction

Bonjour,

Le mieux est de relire son cours, sinon vous n'aurez pas fait grand chose sur vôtre question, à part lire les réponses des intervenants.
Revoir ce qu'est la continuité/discontinuité en un point est indispensable et ça vous servira constamment par la suite.

Vous pouvez aussi passer par les suites en sachant que tout réel ( même irrationnel) est limite d'une suite de rationnels.
Par ailleurs si r est dans $\mathbb{Q}$ que dire de la suite $( r + \sqrt(2)/n ) $ et de sa suite image par f ? Est-ce que c'est compatible avec la continuité au point r?

Toni

Invité

Re : Exo fonction

Bonjour,

Le mieux est de relire son cours, sinon vous n'aurez pas fait grand chose sur vôtre question, à part lire les réponses des intervenants.
Revoir ce qu'est la continuité/discontinuité en un point est indispensable et ça vous servira constamment par la suite.

Vous pouvez aussi passer par les suites en sachant que tout réel ( même irrationnel) est limite d'une suite de rationnels.
Par ailleurs si r est dans $\mathbb{Q}$ que dire de la suite $( r + \sqrt(2)/n ) $ et de sa suite image par f ? Est-ce que c'est compatible avec la continuité au point r?

Bonjour bridgslam.
Je veux vous dire d'accord, je prendra tes conseils.
Une question pour la méthode que tu m'a dit , je veux juste connaître comment savoir si r+✓2/n est rationnel ou irrationnel , pour ✓2 c'est évident, mais dans ce cas on a ✓2/n et non ✓2 seul.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Exo fonction

Bonjour,

Il faut que vous revoyez les notions élémentaires sur les ensembles de nombres habituels.
r étant un nombre rationnel , n un entier non nul et racine de 2 un nombre irrationnel, c'est quitte ou double:
$r + \sqrt {2} /n $ peut-il être un nombre rationnel ? Supposez par exemple que oui...

Vous êtes dans quelle formation?

A.

Dernière modification par bridgslam (14-11-2023 16:23:55)