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tilda

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Fonction réglée

Bonjour tout le monde.
S'il vous plait , comment on peut montrer que toute fonction réglée de $R$ dans $R$ est borélienne ?
La seule donnée que j'ai qu'une fonction sur un segment est réglée si elle est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier (donc continue ?)

Pourriez-vous m'aider à comprendre ces notions ?

Merci beaucoup d'avance.

Dernière modification par tilda (11-11-2023 18:44:08)

Glozi

Invité

Re : Fonction réglée

Bonsoir,
Déjà une fonction réglée n'est pas forcément continue (trouver un contre exemple facile).
Ensuite, quelle est ta définition de fonction borélienne ?
Est-ce que tu sais qu'une fonction en escalier est une fonction borélienne ?
Quels résultats connais-tu à propos des fonctions boréliennes ?
Bonne soirée

tilda

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Re : Fonction réglée

C'est franchement la première fois je pense que j'étudie une fonction réglée , donc pas vraiment d'info sauf ce que j'ai écrit dessus.
Une fonction de $f:R->R$ est borélienne si $f:(R,B(R))->(R,B(R))$ est mesurable.
NON

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Dernière modification par tilda (11-11-2023 21:39:23)

Glozi

Invité

Re : Fonction réglée

Je te propose de faire les questions dans l'ordre suivant
1) a) Une fonction en escalier est-elle forcément continue ? (preuve ou contre exemple)
b) en déduire qu'il existe une fonction réglée non continue
2)a) Rappeler la définition de $f :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ mesurable pour la tribu borélienne (que suffit-il de faire pour montrer qu'une fonction est borélienne ?).
b) Montrer que si $f :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est en escalier alors elle est borélienne.

3) Dans cette question on va montrer que si une suite $f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de fonctions boréliennes converge simplement vers $f$, alors $f$ est borélienne.
a) Pour $k\geq 0$, on pose $g_k(x)= \inf_{n\geq k}f_n(x)$.
(i) Montrer que $g_k$ est bien définie pour tout $k$.
(ii) Montrer que $g_k$ est borélienne (indice : regarder $g_k^{-1}(]-\infty,a[))$
(iii) Montrer que $g_{k+1}\geq g_k$
b) On note $g(x) = \lim_{k\to \infty}g_k(x)$.
(i) Montrer que $g$ est bien définie
(ii) Montrer que $g$ est borélienne (indice : regarder $g^{-1}(]a,\infty[)$)
(iii) Montrer que $g=f$, conclusion ?

4) Montrer qu'une fonction réglée $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est borélienne.

SI ça se trouve tu as déjà fait la question 3) dans ton cours, d'où ma question de savoir ce que tu sais sur les fonctions boréliennes ?
Je réfléchis à si je ne vois pas plus direct en utilisant l'hypothèse de convergence uniforme

Bonne soirée

tilda

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Re : Fonction réglée

Ok je vais essayer de répondre à ces questions quand libre , et je vous enverrais ma rédaction pour la corriger.

Merci d'avance.

bridgslam

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Re : Fonction réglée

Bonjour,

En dehors d'un ensemble dénombrable de points, toutes les fonctions de la suite sont continues sur tous les points.
Leur limite uniforme aussi, qui est donc continue en tout x sauf au pire sur un ensemble dénombrable.
Sauf erreur cela suffit à montrer alors que cette fonction est  borélienne.

A.

Dernière modification par bridgslam (12-11-2023 17:05:29)

tilda

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Re : Fonction réglée

Bonjour bridgslam , je n'ai pas bien saisi votre interprétation..
Pourriez-vous clarifier ?

Dernière modification par tilda (14-11-2023 10:06:25)

bridgslam

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Re : Fonction réglée

Bonjour,

Il y a plusieurs manières de se pencher sur vôtre sujet:
avec la théorie des boréliens et des fonctions mesurables, c'est assez direct, toute fonction en escalier ( cas particulier de fonction étagée) étant borélienne et en utilisant la limite simple d'une suite de boréliennes.
Ici la convergence uniforme permet de légèrement court-circuiter ce processus, en se focalisant juste sur la continuité, et en remarquant que :

- La fonction limite est approchée de manière uniforme par une suite de fonctions en escaliers.
- chaque fonction en escalier de la suite  n'est discontinue que sur une partie au plus dénombrable de $\mathbb{R}$
- une réunion dénombrable de parties au plus dénombrables est au plus dénombrable
- la limite uniforme d'une suite de fonctions continues en un point donné est continue en ce point

En remettant tout ceci en ordre ce n'est pas sorcier.

[ un résultat un peu plus précis, dont vous n'avez pas besoin pour conclure: une fonction réglée admet au plus une quantité dénombrable de discontinuités de première espèce, ce qui circonscrit même le type de discontinuités possibles: limites à droite et à gauche, résultat remarquable qui montre qu'elle ne fait pas "n'importe quoi" non plus aux points éventuels de  discontinuité ]

Quasi la même approche (sur un segment) permet de conclure qu'une fonction réglée est Riemann-intégrable sur ce segment dans la mesure où l'ensemble des points de discontinuité satisfait au critère suivant: il est inclus dans une partie mesurable dont la mesure peut être rendue aussi petite que l'on veut.
Sauf erreur, j'avoue que c'est un peu loin dans mes souvenirs, et j'ai oublié le nom de ce critère...

Bonne journée
A.

Dernière modification par bridgslam (14-11-2023 11:23:58)