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#1 09-11-2023 20:41:21
- Lily29
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Sommes
Bonsoir,
J'ai un exercice à faire et je suis bloquée pour une question, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Voici l'énoncé :
Soit (u1, u2, u3,...) une suite de réels positifs décroissante telle que lim un = 0 quand n-->+oo
Pour tout entier k>=0, on note wk = somme de j= 2^k à [2^(k+1) - 1] des uj.
$w_k=\sum_{j=2^k}^{2^{k+1}-1}u_j$
a) Montrer que cette somme contient 2^k termes, pour cette question j'ai réussi à le montrer.
b) Soit N>=1. >Trouver deux entiers p et q tels que la somme de n=1 à (2^N - 1) des un est égal à la somme de k=p à q des wk.
$\sum_{n=1}^{2^N-1}u_n=\sum_{k=p}^q w_k$
Je ne vois pas comment commencer, pourriez-vous m'indiquer comment commencer ?
[Edit Fred : J'ai ajouté la version LaTeX car sinon, c'est illisible!]
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#2 09-11-2023 21:02:04
- Fred
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Re : Sommes
Bonsoir,
Moi je commencerais par essayer de comprendre à quoi est égale la somme de droite (celle portant sur les $w_k$).
Par exemple, pour $p=1$ et $q=2,$ est-ce que tu ne peux pas écrire cette somme comme une unique somme (portant sur les $u_n$)???
F.
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#5 10-11-2023 22:03:13
- Lily29
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Re : Sommes
Bonsoir,
Je dirais que le 2 et le 7 correspondent aux bornes de la somme wk, le 2 c'est 2^1 et le 7 c'est 2^(2+1)-1 ?
Merci d'avance pour votre réponse et bonne soirée !
Dernière modification par Lily29 (10-11-2023 22:05:55)
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#8 11-11-2023 19:40:00
- Lily29
- Membre
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Re : Sommes
Bonsoir,
J'ai une autre question cocnernant ce même exercice : je dois établir que pour tout N>=1, on a
[tex]\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N 2^kU_{2^k}[/tex] <= [tex]\sum_{n=1}^{2^N-1} U_{n}[/tex] <= [tex]\sum_{k=0}^{N-1} 2^kU_{2^k}[/tex]
Voici ce que j'ai fait : j'ai repris l'inégalité et je suis revenu en arrière, tout d'abord j'ai remplacé la somme des [tex]U_{n}[/tex] par la somme des wk, ensuite j'ai enlevé le terme en N et rajouté le terme en 0 de la somme tout à gauche, afin d'obtenir dans mon inégalité que des sommes de 0 à N, j'obtiens donc :
[tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]2^kU_{2^k}[/tex] <= [tex]w_{k}[/tex] <= [tex]2^kU_{2^k}[/tex]
Sauf qu'ensuite, je ne vois pas comment faire, pourriez-vous me donner une indication sil vous plaît ?
Merci d'avance et bonne soirée !
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#9 11-11-2023 20:08:54
- Glozi
- Invité
Re : Sommes
Bonsoir,
Il a de bonnes idées mais tu es allé un peu trop vite.
Il y a deux inégalités à prouver, essayons par exemple de prouver $\sum_{n=1}^{2^N-1}u_n \leq \sum_{k=0}^{N-1}2^ku_{2^k}$
Tu écris $\sum_{n=1}^{2^N-1}u_n = \sum_{k=0}^{N-1}w_k$. Il suffit alors comme tu l'as observé de montrer que $w_k \leq 2^ku_{2^k}$. Pour cela, il faut se souvenir de la définition de $w_k$ et du fait que $u$ est une suite décroissante.
Pour l'autre inégalité, c'est le même genre de choses, je te laisse bien rédiger ça.
Bonne soirée
#10 12-11-2023 11:30:53
- Lily29
- Membre
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- Messages : 20
Re : Sommes
Bonjour,
Merci pour votre réponse, voici ce que j'ai trouvé :
wk [tex]<=[/tex] [tex]2^kU_{2^k}[/tex]
[tex]\sum_{j=2^k}^{2^{k+1}-1} U_j[/tex] [tex]<=[/tex] [tex]\sum_{j=2^k}^{2^{k+1}-1} U_{2^k}[/tex]
[tex]U_j <= U_{2^k}[/tex]
Et c'est vrai car [tex]U_n[/tex] est décroissante, est-ce cela ?
Merci d'avance pour votre réponse et bonne journée.
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#11 12-11-2023 12:40:27
- Glozi
- Invité
Re : Sommes
Bonjour,
Oui mais il faut préciser que les $j$ que tu considères sont plus grands que $2^k$ pour appliquer la décroissance.
Bonne journée
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