Forum de mathématiques - Bibm@th.net

MikeB

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En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

Bonjour,

Sur un cours de Costantini sur les evn, sur le site bacamaths.net aujourd'hui disparu, on lisait :

La propriété est fausse si le corps de base n'est pas complet, ce qui n'est pas précisé dans la vidéo de la preuve sur bibmaths.
De plus, je ne vois pas où la complétude serait utilisée. Quelqu'un pourrait m'en dire plus ?

Ensuite, la preuve utilise un lemme :
En dimension finie, une norme  [tex]N[/tex] est une application continue de [tex](E,||\cdot||_\infty)[/tex] sur [tex](\mathbb{R},|\cdot|)[/tex].
La preuve se faisant en utilisant une base de [tex]E[/tex]   puis, à l'aide de l'inégalité triangulaire on montre que [tex]N[/tex] est lipschitzienne.

Ne peut-on pas faire le même raisonnement en dimension infinie ,puisqu'il existe  des bases de E d'après l'axiome du choix ?
Et donc affirmer  la norme est continue quelque soit la dimension ?

Cordialement.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

Bonjour,
Lien sur "la vidéo de la preuve sur bibmaths" ?

Glozi

Invité

Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

Bonjour,
J'imagine que tu parles de cette vidéo https://www.youtube.com/watch?v=VKVs9wM0tEs
Dans l'étape 1 on fait appel au théorème de Bolzano Weierstrass qui repose sur le fait que le corps de base (ici $\mathbb{R}$ est complet).
Si $E$ est de dimension infinie et qu'on a l'axiome du choix, on peut effectivement prendre $(e_i)_{i\in I}$ une base de $E$, et poser $\Vert \sum_{i\in I}x_i e_i \Vert_1 := \sum_{i\in I}|x_i|$. Cette norme est bien définie car toutes les sommes considérées sont en fait finies. En revanche la sphère unité $\{x\in E, \Vert x\Vert_1=1\}$ n'est pas compacte pour $\Vert\cdot\Vert_1$ (c'est le théorème de Riesz) la suite de la preuve de la vidéo échoue donc dans ce cas.

Pour ta première question un grand classique est le suivant : prendre $E=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\ |\ a,b\in \mathbb{Q}\}$.
1) Montrer que $E$ est un $\mathbb{Q}$ espace vectoriel de dimension $2$.
2) On pose $N_1(a+b\sqrt{2})=|a+b\sqrt{2}|$ et $N_2(a+b\sqrt{2}) = |a|+|b|$. Montrer que $N_1$ et $N_2$ définissent bien deux normes sur $E$.
3) Montrer que $N_1$ n'est pas équivalente à $N_2$.
4) Conclusion?

Bonne journée

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

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Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

Bonjour,

  Une précision sur les vidéos et cours de Bibm@th : les espaces vectoriels normés sont toujours supposés sur $\mathbb R$
ou sur $\mathbb C$ (ce qui est le cadre des classes préparatoires et suffit pour 99% des applications concrètes).

F.

MikeB

Membre

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Messages : 13

Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

Merci pour vos messages.

Pour Michel, le lien fourni par Glozi est  correct.

Pour Glozi, j'ai lu que le théorème de Bolzano-Weierstrass est équivalent à [tex]\mathbb{R}[/tex] est complet sans aucun lien vers des preuves et cela dépasse mes connaissances.
En dimension infinie le théorème de Riesz   montre que les normes ne sont pas toutes équivalente, ok !
Avec l'exemple illustrant la non équivalence ok.

Ma question demeure , indépendamment de l'application norme est-elle continue de [tex](E,\Vert \cdot\Vert)[/tex] vers [tex](\mathbb{R},\vert \cdot\vert)[/tex] ?

Pour Fred, je m'en suis rendu compte après avoir posté ... et cela me convient tout à fait !

Cordialement.

Mike

Lilou0008

Invité

Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

Bonjour,

Juste une petite question un peu difficile à exprimer concernant la question de MikeB,

Lorsqu'on dit qu'en dimension finie , toutes les normes sont équivalentes, s'agit-il d'une manière un peu détournée de dire qu'il existe un problème universelle dont la solution est un couple [tex]( V , N )[/tex] où [tex]V[/tex] est un espace vectoriel de dimension finie muni d'une unique norme [tex]N[/tex] à équivalence de normes près ? et que [tex]( V , N )[/tex] s'obtient ou existe par construction ? Si oui, comment construit-on concrètement [tex](V,N)[/tex] au lieu de simplement dire que c'est un vague couple formé d'un espace vectoriel et d'une norme, car la construction de ce couple, s'il existe, est canonique, et ne dépend pas d'un choix. N'est ce pas ?

Merci d'avance pour votre éclairage.

Glozi

Invité

Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

MikeB, dans les preuves du théorème de Bolzano Weierestrass on utilise la plupart du temps la propriété de la borne supérieure (par exemple utilisée sous la forme du théorème des suites adjacentes). Cette propriété de la borne supérieure implique la complétude de $\mathbb{R}$.
Pour ta question : si $N$ une norme sur $E$, je dirais que $N : (E,N)\to (\mathbb{R},|\cdot|)$ est Lipschitzienne donc continue...

Lilou0008, je ne comprends pas ta question ? Mais surement quelqu'un aura une idée.

Bonne journée

MikeB

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Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

Merci Glozi pour expliciter le lien entre BW et la complétude, j'y vois plus clair.

Voici mon propos :

Soit [tex] x\in E[/tex] d'après l'axiome du choix, il existe une base [tex]\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}[/tex] et [tex]J[/tex]  un ensemble fini tel que  [tex]J\subset I[/tex]  et [tex]x=\sum_{i \in J}x_ie_i[/tex]  avec [tex]\forall i \in I, x_i\in \mathbb{R}[/tex].

On a [tex]N(x)=N\left(\sum_{i \in J}x_ie_i\right)\leqslant \sum_{i \in J}|x_i|N(e_i) \leqslant \sum_{i \in J}N(e_i)\Vert x\Vert_\infty.[/tex]

Posons [tex]M=\sum_{i \in J}N(e_i)[/tex] , on a [tex]M>0[/tex] d'où [tex]N(x)\leqslant M\Vert x\Vert_\infty.[/tex]

On a [tex]|N(x)-N(y)|\leqslant N(x-y)\leqslant M\Vert x-y\Vert_\infty.[/tex]

Et [tex] N:(E,\Vert \cdot\Vert_\infty)\rightarrow (\mathbb{R},|\cdot|)[/tex] est [tex]M[/tex]-lipschitzienne donc continue sur [tex]E[/tex].

Est-ce correct ?

Cdt.

Glozi

Invité

Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

Non, ton $M$ dépend de $J$ et donc de $x$, alors qu'on veut une constante de Lipschitz indépendante du point considéré.
Rappel : $f : (E,N_1)\to (F,N_2)$ est Lipschitzienne entre ces deux espaces normés s'il existe une constante $M>0$ telle que pour tout $x,y\in E$, $N_2(f(x)-f(y))\leq M.N_1(x-y)$

Ici $f=N$ avec $f : (E,N)\to (\mathbb{R},|\cdot|)$. On écrit alors $|f(x)-f(y)|=|N(x)-N(y)|\leq \dots$ (utiliser l'inégalité triangulaire).

MikeB

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Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

Merci Glozi, j'ai compris !

MikeB

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Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

Toutefois, dans cette vidéo preuve théorème de Riesz il est dit que la norme est continue sur un espace de dimension infinie. Je ne trouve pas de preuve.

Glozi

Invité

Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

Pourtant on vient de dire que la norme est une application Lipschitzienne donc continue, non ?

MikeB

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Re : En dimension finie , toutes les normes sont équivalentes

oui en effet, merci, j'ai recouvré mes esprits....j'ai mélangé mes questions sur les normes.