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Walter

Invité

Limite fonction de plusieurs variables

Bonjour,

J'ai un soucis avec la limite en (0,0) de (x²+y²)²/(x²-y²).
Rien à faire en passant en coordonnée polaire/majoré je trouve rien et trouver des suites auxiliaire qui montrerai que la limite n'existe pas pareil rien trouvé j'avoue que je suis un peu bloqué, si quelqu'un à une piste ça m'aiderai beaucoup.
Merci d'avance.

Zebulor

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

Bonjour,
et si tu regardais ce qui se passe dans une direction particulière du plan...

Michel Coste

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

Bonjour,

Rien à faire en passant en coordonnée polaire

C'est au contraire une bonne idée, et il y a tout à faire !

bridgslam

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

Bonsoir,

Walter pourquoi ne pas regarder les suites $ ( ( 0, 1/n) )_{n \in \mathbb{N}}  $ et $ ( ( 1/n, 0) )_{n \in \mathbb{N}}  $
Ces suites convergent vers (0,0).
Evaluer leurs suites images par f serait une idée aussi.

A.

Michel Coste

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

Je crains que l'idée de bridgslam ne donne pas grand-chose : la limite selon toute droite passant par l'origine, exceptées les droites $y=\pm x$ qui ne sont pas dans le domaine de définition, est toujours $0$.

Zebulor

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

J’ai l’impression que c est la simplification du $x^2-y^2$ qui gêne Walter...

Michel Coste

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

Connaître ses formules trigonométriques de doublement de l'angle n'est pas inutile quand on travaille en coordonnées polaires ...

bridgslam

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

Bonsoir,

pour moi f( (0, 1/n ) ) = -1 et f( (1/n, 0) ) = 1 pour tout n permet de conclure que f n'a pas de limite en (0,0).
Ou alors je loupe quelque chose ?

Alain

Walter

Invité

Re : Limite fonction de plusieurs variables

Merci à tous pour vos réponses, en retravaillant un peu tout ça je trouve que pour la direction particulière du plan le chemin arccos(r²)/2 (due a la formule trigo cos(2a)) me permet de voir que la limite selon ce chemin vaut 1 et donc conclure que la limite n'existe pas.

Zebulor

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

@bridgslam je pense que tu n’as pas vu le carré au numérateur du post 1 de Walter

Zebulor

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

@walter tu as simplement le cosinus de l’angle double au dénominateur qui s’annule pour deux angles principaux

bridgslam

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

Ah oups pas vu son exposant 2 au numérateur... désolé, il faut que je trouve d'autres lunettes...

Alain

Michel Coste

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

@zebulor : oui, et alors ? Les deux droites en question sont exclues du domaine de définition, et ça ne résoud pas le problème de la limite en (0,0).
@Walter : effectivement le chemin $\theta=\arccos(r^2)/2$ fait l'affaire. Remarque qu'il arrive à l'origine tangent à $y=x$.

Zebulor

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Re : Limite fonction de plusieurs variables

@michel ... pff oui bien sur..alors bridgslam n a pas de bonnes lunettes et .. moi non plus du moins pas de bonnes lunettes spirituelles.

Dernière modification par Zebulor (02-11-2023 18:29:23)