Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Erza

Membre

Inscription : 18-10-2023

Messages : 4

Enigmes mathématiques

Bonsoir,
Voici une petite énigme :
Soit M un point intérieur à un triangle équilatéral ABC.
On sait que :
CM=944, BM=1770,AM=2006.
Déterminer la mesure de l'angle BMC en degrés.
Bonne soirée.

Dernière modification par Erza (01-11-2023 13:48:55)

jpp

Membre

Inscription : 31-12-2010

Messages : 1 170

Re : Enigmes mathématiques

Salut

▼Je vois...

... un triplet pythagoricien primitif. ( 8,15,17)

L'angle BMC. Serait droit .

Je n'ai pas fait de figure . Je me suis planté.

Dernière modification par yoshi (19-10-2023 18:27:50)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Enigmes mathématiques

Bonsoir,

Encadré (= reste en haut de chaque page) d'une info de Fred le 30/09/2011
Comment donner la réponse à une énigme...tout en laissant le suspense ?

@Tous : Pensez-y la prochaine fois !... Sinon, à quoi aura servi que Fred se soit décarcassé ?

Yoshi, modo (complet et pas Quasi ^_^)

jpp

Membre

Inscription : 31-12-2010

Messages : 1 170

Re : Enigmes mathématiques

Salut ;

▼Construction

Tout d'abord , 944 = 8 x 118 ;  1770 = 15 x 118  ; 2006 = 17 x 118 .

Je fais donc un dessin à l'échelle 1/118

Je construis un triangle équilatéral CME de côté 8 , puis le triangle rectangle MBE de côtés : ME = 8 , MB = 15 & BE = 17 .

Je trace le segment BC puis le triangle équilatéral ABC .

Par construction , les deux triangles CBE & CAM sont égaux . Alors MA = EB = 17  .

Dans mon triangle ABC , le point M est bien aux distances demandées : 8 , 15 & 17

Et  [tex] \widehat{BMC}= \widehat{BME} + \widehat{EMC} = 90° + 60°  = 150°[/tex]

Sur le dessin , les points E , M  & A ne sont pas alignés car l'angle BMA n'est pas droit .

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Enigmes mathématiques

Salut ;

▼proposition

je propose  149,76 degrés

Dernière modification par Zebulor (31-10-2023 14:07:26)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Enigmes mathématiques

Bonjour à tous !

La construction de jpp est très sympa, et elle mène à la bonne réponse !

Par contre, en y réfléchissant (bien), il me semble que :

soient a, b et c trois nombres réels positifs dans l'ordre croissant, tels que a² + b² = c² ...

Alors il existe un triangle équilatéral ABC, tel qu'il existe un point M intérieur, de telle sorte que MC = a, Mb = b et MA = c, et tel donc que l'angle  BMC soit égal à 150° ... !!!???

Voilà de quoi prolonger le défi ... de Erza ?

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (31-10-2023 17:45:14)

Erza

Membre

Inscription : 18-10-2023

Messages : 4

Re : Enigmes mathématiques

Bonjour,

Désoler de mon abscence mais j'attendais que mon énigme soit vu et répondu par plusieurs personnes. Je rejoint jpp et son raisonnement qui est tout à fait correct on trouve bien 150°. Très belle figure.
Pour répondre à Bernard-maths:
a=8
b=15
c=17

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Enigmes mathématiques

Bonjour Erza !

Je ne demande pas de valeurs précises pour a, b et c !

Je demande de voir un cas général, indépendant des valeurs de a, b et c, pourvu que a² + b² = c² !!!

B-m

jpp

Membre

Inscription : 31-12-2010

Messages : 1 170

Re : Enigmes mathématiques

Re ,

Oui , si les 3 nombres a , b et c sont les mesures des 3côtés d'un triangle rectangle , il suffit de construire le petit triangle équilatéral
Avec  a=33 par exemple ;. Puis .on construit le triangle rectangle de côtés 33;56;65

La construction du grand triangle équilatéral de côté la grande diagonale BC . On obtient toujours deux triangles isométriques et le tracé de l'angle de 150 degrés.

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Enigmes mathématiques

Bonsoir !

Je prolonge le défi :

1)  Connaissant a, b et c, comment calculer le côté p du triangle équilatéral ?

2) Réciproquement, connaissant le côté p, comment calculer a, b et c ?

Très amusant tout ça !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (31-10-2023 21:05:56)

jpp

Membre

Inscription : 31-12-2010

Messages : 1 170

Re : Enigmes mathématiques

Re

▼en réponse à BM

Pour le calcul de BC = p :

[tex]BC = \sqrt{(\frac{a\sqrt3}{2}+b)^2 + \frac{a^2}{4}} = 22.2900448[/tex] avec a=8 et b=15

Et pour le calcul de a , b & c  connaissant BC = p  :

Si BC = 20 par exemple ;  On choisit a et on vérifie par la suite que a<b

Avec a = 7  , on résout l'équation :

[tex]a^2+b^2+ab.\sqrt3 - p^2 = 0[/tex]

Ce qui donne avec [tex]a = 7 [/tex] & [tex]p = 20[/tex]

[tex]b \approx13.629[/tex] et finalement [tex]c \approx15.3217[/tex] sauf erreur .

les valeurs 7 et 20  sont ici les côtés des deux triangles équilatéraux à construire . 

Dernière modification par jpp (31-10-2023 20:04:03)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Enigmes mathématiques

Bonjour Dalal !

Viviani vise les côtés, pas les sommets !

Or a, b et c sont les distances de M aux 3 sommets ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (01-11-2023 11:27:50)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Enigmes mathématiques

B.onjour à tous !

Voici un lien pour télécharger un programme GeoGebra, selon la méthode jpp !

Vous remarquerez que l'on peut tracer de 2 façons différentes le 1er triangle équilatéral (rouge ou vert), mais qu'il y a un seul point M solution ... Par contre, en jouant sur les syméties du triangle, je pense qu'il y a encore 5 autres points qui sont à de distances a, b et c des 3 sommets ...

https://www.cjoint.com/doc/23_11/MKbkEe … -10-18.ggb

B-m

PS : e n'est pas pour ça que j'ai résolu mon prolongemnt de défi ! Je compte sur vous pour le résoudre ... ^=^ (à la Yoshi)

Dernière modification par Bernard-maths (01-11-2023 20:17:14)