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debutan

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Équivalent somme partielle

Bonjour ,

$a>0$, $b \in \mathbb N^*$
$S(n)=\sum_{j=1}^{n} (bj)^{abj}$
Donner un équivalent et un développement asymptotique à deux termes.
=======

Voilà ce que j’ai essayé $S(n)=\sum_{j=1}^{n} \exp({abj\ln(bj)}) $
En posant $f(x)=exp(abx\ln(bx)) $ je remarque que $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$
donc avec une comparaison serie intégrale on doit trouver un équivalent de $J(n)=\int_{1}^{n} exp(abx\ln(bx))dx$
mais c’est là que je  rencontre des difficultés recherche de primitive sans succès, je voulais aussi faire un changement
de variable $y=g(x)=bx\ln(bx)$ mais on ne pas avoir $x$ en fonction de $y$ explicitement.

Je vous remercie pour votre aide

Dernière modification par yoshi (27-10-2023 07:18:48)

debutan

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Re : Équivalent somme partielle

Pour J(n) après le changement variable $u=bx$ on a $J(n)=\frac{1}{b}\int_{a}^{bn} e^{au\ln(u)} du=\frac{1}{b}\int_{b}^{bn}(a\ln(u)+a)e^{au\ln(u)}\frac{1}{a(1+\ln(u)}du$ là je tente une intégration par parties
$J(n)=\frac{1}{ab}[\frac{e^{au\ln(u)}}{1+\ln(u)}]_{b}^{bn} +\frac{1}{ab}\int_{b}^{bn} \frac{e^{au\ln(u)}}{u(1+\ln(u))^2} du$
En oubliant la partie avec l’intégrale l’équivalent serai la partie entre crochet $J(n)\sim \frac{1}{ab}\frac{(bn)^{abn}}{\ln(bn)}$ ?
je ne sais pas si c’est juste

Zebulor

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Re : Équivalent somme partielle

Bonjour,
l'intitulé est bref. ..J'ai une question bête mais c'est un équivalent en l 'infini ? j'aurais tendance à ne faire aucun calcul ..

debutan

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Re : Équivalent somme partielle

j’ai oublié de préciser c’est un équivalent en $+\infty$

Zebulor

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Re : Équivalent somme partielle

L'idée qui m'est venue d'emblée est de comparer le dernier terme de ta somme avec le précédent lorsque $n$ est "très grand"

debutan

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Re : Équivalent somme partielle

Je dois comparer $(bn)^{abn}$ avec $(b(n-1))^{ab(n-1)}$ ?

Zebulor

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Re : Équivalent somme partielle

re,
je ne sais pas si tu "dois" car c'est une proposition de début de solution comme une autre, plus qualitative que calculatoire, sachant que ta somme explose vers l'infini étant donné que $bj \ge 1$.

Dernière modification par Zebulor (27-10-2023 13:21:50)

debutan

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Re : Équivalent somme partielle

Zebulor est-ce que tu trouves le même équivalent que moi voir #2?merci

Zebulor

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Re : Équivalent somme partielle

re,
c'est ton dénominateur qui me gêne dans ton équivalent. Je trouve étrange ton oubli avec le terme avec l'intégrale, et à mon humble avis tu ne peux pas faire grand chose avec tes intégrales, donc j 'éviterais la voie calculatoire...

Je dois comparer $(bn)^{abn}$ avec $(b(n-1))^{ab(n-1)}$ ?

Oui parce que l'idée est de montrer que $(bn)^{abn}$ est "infiniment plus grand" que $(b(n-1))^{ab(n-1)}$ quand $n$ tend vers l'infini en cherchant un équivalent simple du quotient $\frac{(bn)^{abn}}{(b(n-1))^{ab(n-1)}}$ quand $n$ tend vers l'infini.

Pour prendre un exemple analogique : le DL de ln(1+x) en 0 à l'ordre 2 est $x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$. Pour $x$ "suffisamment proche" de 0, un équivalent de ln(1+x) en 0 est $x$, où $x$ est "inifiniment plus grand" que $\frac{x^2}{2}$ d'un facteur $\frac{x}{\frac{x^2}{2}}=\frac{2}{x}$. Tu peux prendre $x=0.001$ pour fixer les idées...

Dans ta somme quand $n$ est "très grand", le dernier terme de la somme "mange" le précédent en tendant toujours plus vers $+\infty$, lequel "mange" celui qui le précède etc...
Dans mon exemple avec le DL en 0, chaque terme supplémentaire dans le DL est "aspiré" vers 0...

Dernière modification par Zebulor (27-10-2023 19:59:30)

debutan

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Re : Équivalent somme partielle

Le quotient de #9 est équivalent à $e^{-ab}n^{ab}$
donc $ (b(n-1))^{ab(n-1)}$ est un petit o de $  (bn)^{abn}) $

debutan

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Re : Équivalent somme partielle

Je suis un peu surpris de cette approche, du coup ça donne $S(n)=(bn)^{abn} +o( (bn)^{abn} )$

Zebulor

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Re : Équivalent somme partielle

Il y a en effet une exponentielle mais il doit manquer quelque chose dans ton calcul ... quoi qu'il en soit le dernier terme de la suite mange son précédent.
Peut être que sur ce site d'autres ont une approche différente de la mienne... En général dès que ça devient trop calculatoire avec une intégrale comme celle que tu avais c'est que l'approche est mauvaise

Dernière modification par Zebulor (27-10-2023 21:09:38)

debutan

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Re : Équivalent somme partielle

Peux-tu me dire si le DA de #11 est correct?merci

Zebulor

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Re : Équivalent somme partielle

re,
A partir de ton $J(n)=\int_{1}^{n} exp(abx\ln(bx))dx$ on pourrait peut être en faire une approximation pour $n$ assez grand du style $\int_{n-1}^{n} exp(abx\ln(bx))dx$, en considérant le logarithme est quasi constant sur l'intervalle $[n-1;n]$ et vaut $ln(bn)$..Dès lors tu peux faire une évaluation de cette intégrale et tu devrais retomber sur tes pattes. A voir car il est tard et je crains ne plus être lucide...

Sur ton post 11 oui c'est correct et tu peux tout simplement écrire qu'un équivalent de $S(n)$ est le premier terme du membre de droite de l'égalité que tu as écrite.

Dernière modification par Zebulor (28-10-2023 08:52:17)

debutan

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Re : Équivalent somme partielle

Zebulon je te remercie pour avoir pris le temps de me guider sur cet équivalent.
Je reprendrai J(n) pour voir si j’arrive au même équivalent.

Zebulor

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Re : Équivalent somme partielle

Re,

Le quotient de #9 est équivalent à $e^{-ab}n^{ab}$
donc $ (b(n-1))^{ab(n-1)}$ est un petit o de $  (bn)^{abn}) $

Ca serait pas $(ben)^{ab}$ ? (Attention j ai fait le Quotient du dernier terme de la somme S(n) par le précédent).mais ça ne change rien à la conclusion

Dernière modification par Zebulor (28-10-2023 06:34:12)

Zebulor

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Re : Équivalent somme partielle

Bonjour,
tu peux aussi comparer $S(n)$ et $S(n-1)$ et en déduire une inégalité pour $S(n)$.. Tu peux aussi pythonner.

A partir de ton $J(n)=\int_{1}^{n} exp(abx\ln(bx))dx$ on pourrait peut être en faire une approximation pour $n$ assez grand du style $\int_{n-1}^{n} exp(abx\ln(bx))dx$, en considérant le logarithme est quasi constant sur l'intervalle $[n-1;n]$ et vaut $ln(bn)$..Dès lors tu peux faire une évaluation de cette intégrale et tu devrais retomber sur tes pattes. A voir car il est tard et je crains ne plus être lucide...

Non, c'est faux.

Je suis un peu surpris de cette approche, du coup ça donne $S(n)=(bn)^{abn} +o( (bn)^{abn} )$

Je me surprends moi même, mais les quelques tests avec des valeurs de $a$, $b$ et $n$ que j'ai faits tendent à la valider..

Dernière modification par Zebulor (28-10-2023 10:34:03)

Lars

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Re : Équivalent somme partielle

Bonjour,

Commencez par quelques inégalités innocentes u((n+1)plus petit que S(n+1) plus petit que u(n+1)+nu(n), cherchez un équivalent simple de u(n+1)/u(n) et conclure pour ab>1

debutan

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Re : Équivalent somme partielle

Lars avec ta démarche je trouve S(n+1) est équivalent à u(n+1)

debutan

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Re : Équivalent somme partielle

C’est pour ab>1.
Et que faire si $0<ab\leq 1$

Lars

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Re : Équivalent somme partielle

Bonsoir,

Tjrs pour ab>1, ça vous donne Sn-un =S(n-1)~u(n-1) et vous avez donc votre développement à l'ordre 2. Et ainsi de suite.
Une fois que vous avez compris que le dernier est prépondérant, vous pouvez suivre les indications précédentes avec les intégrales. Voué que j'ai pas regardé, mais ceux qui ont répondu ont d^u regarder.

Le terme général s'écrit f(n), f croissante, et vérifiez que f'/f tend vers l'infini(équivalent à ab ln(x) (à vérifier). Dit autrement f est négligeable devant f' au voisinage de l'infini, d'où d'après un théorème d'Integration d'équivalent, et car f est positive, je passe les détails, l'intégrale de n0 à n-1 de f est négligeable devant l'intégrale de n0 à n-1 de f' lorsquz n tend vers l'infini, qui est équivalent a f(n-1) et en bricolant les inégalités vous obtenez que S(n-1) (que vous avez préalablement majoré par une intégrale de f) est negligeable devant f(n)=u(n) ie que S(n) est equivalent à u(n).

Zebulor

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Re : Équivalent somme partielle

Bonsoir,
je n'ai pas regardé de près mais l'approche de Lars semble prometteuse..

debutan

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Re : Équivalent somme partielle

Lars comment faire dans le cas où $0<ab\leq 1$ than you

Lars

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Re : Équivalent somme partielle

Bonjour,

Voir ma réponse précédente qui ne spécifie aucune condition sur a, b.

debutan

Invité

Re : Équivalent somme partielle

Bonjour,

Commencez par quelques inégalités innocentes u((n+1)plus petit que S(n+1) plus petit que u(n+1)+nu(n), cherchez un équivalent simple de u(n+1)/u(n) et conclure pour ab>1

Ben tu te places dans le cas où ab>1