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Mathieu314

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Solution particulière d'une ED

Bonjour,

Je dois trouver une solution à l'équation différentielle :

[tex]
x''(t) - 10x'(t) + 9x(t) = e^{2t}\cos(t)
[/tex]

Le soucis étant le 2nd membre.

En me plongeant dans mes vieux cahiers de prépa j'ai retrouvé un exercice similaire :

[tex]
y''(x) - 2y'(x) + 2y(x) = 2e^x\sin(x)
[/tex]

Pour la résoudre on avait réécrit le second membre en utilisant la formule d'Euler :

[tex]
-i e^{(1+i)x} + i e^{(1-i)x}
[/tex]

En utilisant le principe de superposition on à chercher une solution sous la forme :

[tex]
y_p(x) = \alpha e^{(1+i)x}
[/tex]

On obtiens alors un système qui nous dit que :

[tex]0 = -i[/tex]

On passe donc à une solution du type :

[tex]y_p(x) = (\alpha x + \beta) e^{(1+i)x}[/tex]

Finalement on identifie :

[tex]\alpha = -\frac{1}{2}[/tex]

Et donc on obtient :

[tex]y_p(x) = \left(-\frac{1}{2} x + \beta\right) e^{(1+i)x}[/tex]

"Comme on cherche une solution particulière on fixe :

[tex]\beta = 0[/tex]"

En physique ça poserait pas un problème ?

On obtient comme solution particulière :

[tex]y_p(x) = \left(-\frac{1}{2} x\right) e^{(1+i)x}[/tex]

On a alors la solution conjugué :

[tex]y_p(x) = \left(-\frac{1}{2} x\right) e^{(1-i)x}[/tex]

Et la solution particulière :

[tex]y_p(x) = -x \cos(x) e^x[/tex]

Pour en revenir à mon cas présent :

[tex]
x''(t) - 10x'(t) + 9x(t) = e^{2t}\cos(t)
[/tex]

[tex]y_p(t) = \alpha e^{(2+i)t}[/tex]

Me donne :

[tex]0 = \frac{1}{2}[/tex]

Donc je monte d'un degré :

[tex]y_p(t) = (\alpha t + \beta) e^{(2+i)t}[/tex]

Je calcul mes dérivées :
[tex]y_p'(t) = \alpha e^{(2+i)t} + (\alpha t + \beta)(2+i)e^{(2+i)t}[/tex]
[tex]y_p''(t) = 2\alpha(2+i)e^{(2+i)t} + (\alpha t + \beta)(2+i)^2 e^{(2+i)t}[/tex]

Je reporte :

[tex]2\alpha(2+i)e^{(2+i)t} + (\alpha t + \beta)(2+i)^2e^{(2+i)t} - 10\left(\alpha + (\alpha t + \beta)(2+i)\right)e^{(2+i)t} + 9(\alpha t + \beta)e^{(2+i)t} = \frac{1}{2}e^{(2+i)t}[/tex]
[tex]2\alpha(2+i) + (\alpha t + \beta)(2+i)^2 - 10\left(\alpha + (\alpha t + \beta)(2+i)\right) + 9(\alpha t + \beta) = \frac{1}{2}[/tex]

Et à partir de là je ne sais pas quoi poser comme système.

Auriez vous des pistes ? J'aimerais comprendre pourquoi je suis bloqué à ce stade avec cette méthode.

Merci d'avance, bonne journée,
Mathieu.

Dernière modification par Mathieu314 (22-10-2023 09:43:43)

Black Jack

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Re : Solution particulière d'une ED

Bonjour,

Cherche une solution particulière de la forme $x = e^{2t}.(A.cos(t) + B.sin(t))$

x' = ...
x'' = ...

x'' - 10x' + 9 x = ... 
On regroupe ensuite les termes en e^(2t) * cos(t) et en e^(2t) * sin(t) ...

On identifie les coefficients trouvés pour  les termes en e^(2t) * cos(t) à 1
et les  coefficients trouvés pour  les termes en e^(2t) * sin(t) à 0

On a ainsi un système de 2 équations à 2 inconnues (A et B) qui résolu devrait te permettre de trouver une solution particulière en remplaçant dans $x = e^{2t}.(A.cos(t) + B.sin(t))$, A et B par les valeurs trouvées.

Sauf erreur de ma part, tu devrais trouver : $x = e^{2t}.(-0,08.cos(t) -0,06.sin(t))$

Dernière modification par Black Jack (22-10-2023 16:41:32)

Black Jack

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Re : Solution particulière d'une ED

Rebonjour,

On peut aussi faire ainsi : (Cela revient au même mais on traîne des complexes en court de calculs)

$\displaystyle e^{2t}. cos(t) = e^{2t} \frac{e^{i.t} + e^{-i.t}}{2}$

$\displaystyle e^{2t}. cos(t) = \frac{e^{(2+i).t} + e^{(2-i).t}}{2}$

On cherche une solution particulière pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x =  \frac{e^{(2+i).t}}{2}$

et une particulière pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x = \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

a) pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x  = \frac{e^{(2+i).t}}{2}$

Une solution particulière est de la forme $x = A . \frac{e^{(2+i).t}}{2}$

x' = ...
x'' = ...

$\displaystyle \frac{e^{(2+i).t}}{2} = ...$
Et en identifiant le second membre avec $\displaystyle \frac{e^{(2+i).t}}{2}$, on trouve $A = -\frac{1}{4.(4+3i)}$

b) a) pour $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x  = \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

Une solution particulière est de la forme $\displaystyle x = B . \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

... et de manière analogue à ci-dessus, on trouve $\displaystyle B = -\frac{1}{4.(4-3i)}$

Une solution particulière de  $\displaystyle x'' - 10.x' + 9x = e^{2t}.cos(x)$ est donc :

$\displaystyle y = -\frac{1}{4.(4+3i)} . \frac{e^{(2+i).t}}{2} - \frac{1}{4.(4-3i)} . \frac{e^{(2-i).t}}{2}$

Et en triturant un peu la ligne ci-dessus, on arrive à :

$\displaystyle y = -\frac{e^{2t}}{100}.[8.\frac{e^{i.t}+e^{-it}}{2} + 6.\frac{e^{i.t} - e^{-it}}{2i}] $

$\displaystyle y = -\frac{e^{2t}}{100}.(8.cos(t) + 6.sin(t))$

$\displaystyle y = e^{2t}.(-0,08.cos(t) - 0,06.sin(t))$

Mathieu314

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Re : Solution particulière d'une ED

Bonjour,

Tout d'abord merci d'avoir prit le temps de me répondre. Je n'ai toujours pas réussi par la méthode des exponentielles.

J'ai essayé de partir de la solution de la forme

[tex]y_p = e^{\alpha t}(A(t)\cos(\beta t) + B(t)\sin(\beta t))[/tex]

J’ai bien trouvé :
[tex]
\begin{align*}
a &= \frac{-2}{25} \\
b &= -\frac{3}{50}
\end{align*}
[/tex]

Donc ça c’est top merci bien ! Il me reste à réussir en passant par les exponentielles.

Dernière modification par Mathieu314 (24-10-2023 12:55:10)