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yerbabuena

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Espérance conditionnelle (processus de poisson)

Bonjour, je tente de déterminer cette variable aléatoire [tex]E[1_{S_{n+1}>t}|S_{n}][/tex], dans le contexte suivant :  Sn est la  somme d'exponentielles (Y_1≤i≤n) indépendantes, de même paramètre λ. J'ai déjà calculé la loi de N_t=[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}1_{{S_{n}<t}}[/tex], (une poisson de paramètre λt) et la loi conditionnelle de (S₁,...,S_n) sachant {N_t=n}. Je sais que [tex]E[1_{S_{n+1}>t}|S_{n}][/tex] est [tex]P[{S_{n+1}>t}|S_{n}][/tex], mais ça n'arrange rien. Je peux essayer d'exprimer Sn+1>t avec les variables Nt pour me ramener à des choses déjà calculées, comme [Sn+1>t] <=> [[Nt=1]∪...∪[Nt=n]], puis utiliser la propriété caractéristique de l'espérance conditionnelle (Pour toute variable Z Sn-mesurable, on a [tex]E[ZX] = E[E[X|S_{n}]Z][/tex], en utilisant notamment le fait que 1_{{N_{t}=k}} est Sn-mesurable avec 1≤k≤n ? Qu'en pensez vous ?
Cordialement ,

Dernière modification par yerbabuena (06-11-2021 23:54:13)

emy

Invité

Re : Espérance conditionnelle (processus de poisson)

Considérez un processus de Poisson homogène {N(t); t>= 0}, avec paramètre 0 < lambda. Si Si représente le temps où se produit le i-ème événement de ce processus et 0 < u < t, évaluez E[S2 | S1 = u, N(t) = 2].