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Dos335

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Problème limite

Bonjour,

J'étudie la fonction f(x) = (1/(1+x))-ln(1+(1/x)) Je dois trouvé la limite de x^2f(x) qui doit être une constante négative. Par DL ln(1+1/x) est équivalent à (1/x)+(1/(2x^2)) et 1/(1+x) est équivalent à 1/x  en plus l'infini. Or (x^2)((1/x)-(1/x)+(1/(2(x^2))))=(x^2)((1/(2x^2))=1/2 qui est positif. Donc y'a quelque chose de pas bon quelque part mais je ne vois pas :( . Si quelqu'un voit l'erreur je suis preneur.
Cordialement,
Dos335

Zebulor

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Re : Problème limite

Bonjour,
je soupconne que ton erreur vient de ton équivalent de $\dfrac {1}{1+x}$ en $+\infty$ que tu n'as pas poussé assez loin...

Dernière modification par Zebulor (22-10-2023 12:57:28)

Michel Coste

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Re : Problème limite

Bonjour,
Beaucoup trop d'imprécision dans ce que tu écris.
1°) Tu oublies de dire en quel point on prend la limite. Il faut voir ce que tu écris après pour deviner que c'est pour $x$ tendant vers $+\infty$.
2°) Tu parles d'"équivalent" pour un développement limité, et tu omets de préciser à quel ordre est ton développement limité. Immanquablement, ça te conduit à faire des erreurs.
Reprends tes calculs en précisant l'ordre de tes développements limités en $+\infty$.
Par exemple, pour $t\to 0$,  $\ln(1+t)=t-\dfrac{t^2}2 +o(t^2)$.

Dernière modification par Michel Coste (22-10-2023 14:45:31)

Zebulor

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Re : Problème limite

re,
j'allais préciser mais Michel est passé par là. Le développement limité qu'il a écrit est d'ordre 2 en 0, et il te suffit d'en faire un autre du même ordre pour la fraction du post 2 moyennant une petite transformation d'écriture sur celle ci...

Black Jack

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Re : Problème limite

Bonjour,

J'étudie la fonction f(x) = (1/(1+x))-ln(1+(1/x)) Je dois trouvé la limite de x^2f(x) qui doit être une constante négative. Par DL ln(1+1/x) est équivalent à (1/x)+(1/(2x^2)) et 1/(1+x) est équivalent à 1/x  en plus l'infini. Or (x^2)((1/x)-(1/x)+(1/(2(x^2))))=(x^2)((1/(2x^2))=1/2 qui est positif. Donc y'a quelque chose de pas bon quelque part mais je ne vois pas :( . Si quelqu'un voit l'erreur je suis preneur.
Cordialement,
Dos335

Bonjour,

Tu écris :  ln(1+1/x) est équivalent à (1/x)+(1/(2x^2)) et 1/(1+x) est équivalent à 1/x  en plus l'infini.

Et donc x².f(x) est équivalent en plus l'infini à : x².[1/x - ((1/x)+(1/(2x^2))] = x².(-1/(2x²)) = -1/2

Zebulor

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Re : Problème limite

Re,
@Black Jack : là tu as trouvé -1/2 par hasard au gré des erreurs qui se compensent parce qu'il y a un problème de signe :

ln(1+1/x) est équivalent à (1/x)+(1/(2x^2)) en plus l'infini.

Comme je préfère les DL j'écrirais plutôt quelque chose comme ln$(1+\dfrac {1}{x})=\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{2x^2}+o(\dfrac{1}{x^2})$ comme DL d'ordre 2 en l'infini.

Donc c'est bien "l'équivalent" de la fraction du post 2 qui n'est pas assez "poussé"...

Dernière modification par Zebulor (22-10-2023 13:42:49)

Michel Coste

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Re : Problème limite

Je répète que je trouve très dangereux de parler d'"équivalent" à tort et à travers.
$\ln\left(1+\dfrac1x\right)$ est équivalent à $\dfrac1x$ quand $x\to +\infty$, il est aussi équivalent à $\dfrac1x+2023\dfrac1{x^2}$.
Encore une fois, on doit parler de développement limité, et il est indispensable de préciser l'ordre de ces développements limités.

Zebulor

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Re : Problème limite

Re,
en effet .. notre Dos335 m'a fait écrire une imprécision. Alors je précise ma pensée : le DL à l'ordre 2 en l'infini dont il est question n'est PAS celui ci  :  ln$(1+\dfrac {1}{x})=\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{2x^2}+o(\dfrac{1}{x^2})$ mais celui là : ln$(1+\dfrac {1}{x})=\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{2x^2}+o(\dfrac{1}{x^2})$

Dernière modification par Zebulor (22-10-2023 15:39:34)

Black Jack

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Re : Problème limite

lim(x--> +oo) x².f(x) =  x² * (1/(1+x)) - x² * ln(1+(1/x))

Poser x = 1/X

lim(X--> 0) [1/X² *  (1 + 1/X)) - X² * ln(1 + X)]
= lim(X--> 0) [1/(X.(X + 1)) - X² * ln(1 + X)]

Le DL d'ordre 2 en 0 de 1/(X.(X + 1)) est : 1/X - 1 + X²
Le DL d'ordre 2 en 0 de X².ln(1+X) est : 1/X - 1/2 + X/3 - X²/4

Le DL d'ordre 2 de   lim(X--> 0) [1/(X.(X + 1)) - X² * ln(1 + X)] est : 1/X - 1 + X² - (1/X - 1/2 + X/3 - X²/4) = - 1/2 + 3X²/4 - X/3

Et pour X --> 0 ...

Michel Coste

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Re : Problème limite

Black Jack, ne te crois pas obligé de faire complètement l'exercice (avec en plus une erreur à la ligne 3 :
lim(X--> 0) [1/X² *  (1 + 1/X)) - X² * ln(1 + X)]
Et il vaut mieux faire le d.l. de $f(x)$ en $+\infty$ à l'ordre convenable, sans traîner le $x^2$. Faire un d.l. d'ordre 2 de $x^2f(x)$ est du travail complètement inutile puisqu'on cherche la limite de $x^2f(x)$.

Zebulor

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Re : Problème limite

Re,
sinon on peut trouver la limite de $x^2f(x)$ en $+\infty$ en exploitant la règle de l'Hopital ...

Black Jack

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Re : Problème limite

Black Jack, ne te crois pas obligé de faire complètement l'exercice (avec en plus une erreur à la ligne 3 :
lim(X--> 0) [1/X² *  (1 + 1/X)) - X² * ln(1 + X)]
Et il vaut mieux faire le d.l. de $f(x)$ en $+\infty$ à l'ordre convenable, sans traîner le $x^2$. Faire un d.l. d'ordre 2 de $x^2f(x)$ est du travail complètement inutile puisqu'on cherche la limite de $x^2f(x)$.

OK.
Mauvaise recopie.
La ligne suivante aurait du être :  = lim(X--> 0) [1/(X.(X + 1)) - 1/X² * ln(1 + X)]
Chemin peut être un peu long ... mais qui conduit à la bonne réponse.

Black Jack

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Re : Problème limite

Re,
sinon on peut trouver la limite de $x^2f(x)$ en $+\infty$ en exploitant la règle de l'Hopital ...

Bonjour,

L'expression de x².f(x) pour x --> oo ne se prète pas des mieux pour utiliser la règle du Marquis.

Dos33

Invité

Re : Problème limite

Re,
Merci beaucoup pour vos réponse, en effet dsl j'ai fait une erreur en recopiant le DL de ln(1+1/x) (c'est (1/x)-(1/(2x^2)) plus le petit o ) mais ça me donne quand même 1/2. En faisant un DL d'ordre 3 sur (x^2)/(1+x)=x/(1+1/x) on trouve x(1-1/x+1/x^2-1/x^3 plus le petit o) et alors en soustrayant à lui le DL du logarithme multiplié par x^2 on trouve -1/2 comme limite. Mais je ne comprends pas pourquoi en donnant comme équivalant 1/(1+x)=1/x en plus l'infini on trouve 1/2 qui est donc le "bon" résultat mais du mauvais signe :/ ?

Michel Coste

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Re : Problème limite

Je me cite : "Tu parles d'"équivalent" pour un développement limité, et tu omets de préciser à quel ordre est ton développement limité. Immanquablement, ça te conduit à faire des erreurs."
Tant que tu n'auras pas compris cela, tu continueras à faire des erreurs.

Glozi

Invité

Re : Problème limite

Bonsoir,
Tu dis $\frac{1}{x+1}\sim_{x\to \infty}\frac{1}{x}$ cela se réécrit de manière équivalente $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x})$.
Ensuite tu dis $\ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})$ (en corrigeant l'erreur du signe $-$ dans le DL de $\ln$).
Ensuite tu dis qu'on soustrait les deux DL :
cela donne :
$\frac{1}{x+1}-\ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}+o(\frac{1}{x}) -\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}-o(\frac{1}{x^2}) = o(\frac{1}{x})$.
En effet, les termes $\frac{1}{2x^2}$ et $o(\frac{1}{x^2})$ sont "mangés" par le $o(\frac{1}{x})$.
Finalement, en multipliant par $x^2$ tu trouves $x^2f(x)=o(x)$ ce qui n'est pas assez précis pour conclure à une éventuelle limite.
Bilan : quand on somme un DL à l'ordre 1 et un DL à l'ordre 2 on obtient un DL à l'ordre 1...

Si tu remplaces $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x})$ par $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})$ (un DL à l'ordre 2) alors tu vas trouver quelque chose de plus concluant.

De manière générale : soit on travaille avec les équivalents (mais on fait attention à ne pas sommer (n'importe comment...) des équivalents) soit on travaille avec des DL (on peut toujours les sommer mais le moins précis va toujours ruiner la précision des autres). On évite un mélange des deux.

Bonne soirée

Dos335

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Re : Problème limite

Merci beaucoup ! Je crois que j'ai compris ce qui clochait xD

Bonsoir,
Tu dis $\frac{1}{x+1}\sim_{x\to \infty}\frac{1}{x}$ cela se réécrit de manière équivalente $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x})$.
Ensuite tu dis $\ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})$ (en corrigeant l'erreur du signe $-$ dans le DL de $\ln$).
Ensuite tu dis qu'on soustrait les deux DL :
cela donne :
$\frac{1}{x+1}-\ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}+o(\frac{1}{x}) -\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}-o(\frac{1}{x^2}) = o(\frac{1}{x})$.
En effet, les termes $\frac{1}{2x^2}$ et $o(\frac{1}{x^2})$ sont "mangés" par le $o(\frac{1}{x})$.
Finalement, en multipliant par $x^2$ tu trouves $x^2f(x)=o(x)$ ce qui n'est pas assez précis pour conclure à une éventuelle limite.
Bilan : quand on somme un DL à l'ordre 1 et un DL à l'ordre 2 on obtient un DL à l'ordre 1...

Si tu remplaces $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x})$ par $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})$ (un DL à l'ordre 2) alors tu vas trouver quelque chose de plus concluant.

De manière générale : soit on travaille avec les équivalents (mais on fait attention à ne pas sommer (n'importe comment...) des équivalents) soit on travaille avec des DL (on peut toujours les sommer mais le moins précis va toujours ruiner la précision des autres). On évite un mélange des deux.

Bonne soirée

Dos335

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Re : Problème limite

Je serai plus rigoureux la prochaine fois et j'arrêterai de ne pas prendre en considération les petit o haha

Zebulor

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Re : Problème limite

Re,

L'expression de x².f(x) pour x --> oo ne se prète pas des mieux pour utiliser la règle du Marquis.

Pour notre ami Dos335 et pour répondre à BlackJack :
En pratique, je lis qu'on lève très rarement une indéterminée de cette façon et qu'on cherche plutôt à utiliser des développements limités.

Néanmoins on peut exploiter ceci : $x^2f(x)=\dfrac{f(x)}{\dfrac{1}{x^2}}$, pour arriver à cette expression : $\dfrac{-x^2}{2(x+1)^2}$ dont la limite est facile à trouver quand $x$ tend vers $+\infty$

Et pour compléter :
https://www.bibmath.net/dico/index.php? … pital.html

Dernière modification par Zebulor (23-10-2023 08:36:36)