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Oma

Invité

Ouvert+dénombrable

Salut,
J'ai deux questions, j'espère que quelqu'un peut m'aider.
Alors
Dans la définition d'un ouvert , une partie O de X est dite ouvert si : quelquesoit a appartenant à O , il existe r >0 tel que Bd(a,r) est conclu dans O.(Bd(a,r) est la boule ouverte de centre a et de rayon r).
Ma première question c'est pourquoi X est un ouvert ??
Parce que si on prend par exemple l'intervalle [0,1] , on ne peut pas dire que [0,1] est un ouvert de [0,1] .(en prenant a=1 dans la définition d'un ouvert que j'ai dit précédemment, on peut pas trouver un rayon et donc une boule ouverte tel que Bd(a,r) est dans [0,1]).

Ma deuxième question, je veux juste comprendre la différence entre union (ou intersection) dénombrable et non dénombrable , et par des exemples ça sera mieux.

Merciii .

Fred

Administrateur

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Re : Ouvert+dénombrable

Bonjour,

  Ce sont des questions un peu délicates car il faut être précis dans ce que l'on étudie. J'imagine que pour toi, $X$ est un espace métrique, et $d$ est la distance définie sur $X$. Alors, par définition
$$B_d(a,r)=\{x\in X:\ d(x,a)<r\}.$$
Ainsi, $B_d(a,r)$ est toujours une partie de l'espace métrique $X$ dans lequel on travaille.

Ainsi, si je choisis $X=[0,1]$ comme espace métrique ambiant, la boule $B(3/4,1/2)$ n'est pas l'intervalle $]1/4,5/4[$ comme tu le penses, mais l'intervalle $]3/4,1]$ (on n'a pas le droit de sortir de $[0,1]$). Ainsi, $[0,1]$ est bien un ouvert de l'espace métrique $([0,1],|\cdot|)$, même si ce n'est pas un ouvert de $\mathbb R.$

F.

bridgslam

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Re : Ouvert+dénombrable

Bonsoir,

La topologie dépend de l'ensemble X dans lequel on se place , les ouverts sont des parties de X.
Si X est [0;1] , les boules ouvertes (sous-entendu dans X) de centre 1 sont les ] t, 1] avec t dans [0;1[, ainsi que [0;1] qui est par exemple la boule B(1;2).
Dans un espace où la distance est majorée, X lui-même est toujours (en plus d'être ouvert) une boule.

La topologie sur une partie , sauf mention contraire, est formée des intersections des ouverts de R avec cette partie ( topologie trace).

L'intuition géométrique est parfois trompeuse.
Dans notre exemple [0,1] est aussi une boule ouverte de centre 0, dans [0,1], alors que dans la vie courante une boule a un centre unique...

Une union (infinie) dénombrable est par exemple celle des entiers pairs ,
$\mathbb{2N} = \cup_{n \in \mathbb{N}} \{2n\}$
L'indice parcourt un ensemble dénombrable.
C'est le même principe dans le cas des intersections.

A.

Dernière modification par bridgslam (10-10-2023 23:14:54)

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Ouvert+dénombrable

Bonjour,

La réunion d'une famille $(X_i)_{i\in I}$ d'ensembles indexée par l'ensemble $I$, c'est par définition l'ensemble des $x$ tels qu'il existe $i\in I$ tel que $x\in X_i$.
Si $I$ est dénombrable, on parle d'union dénombrable, et si $I$ n'est pas dénombrable on parle d'union non dénombrable.
Par exemple $\mathbb R$ est l'union non dénombrable des intervalles $[x,x+1]$ pour $x\in \mathbb R$ (puisque l'ensemble d'indices $\mathbb R$ est non dénombrable), mais il est aussi l'union dénombrable des intervalles $[n,n+1]$ pour $n\in \mathbb Z$ (puisqu'ici  l'ensemble d'indices $\mathbb Z$ est dénombrable).