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Jules81

Invité

Intégrale de lebesgue

Bonsoir pourriez vous me donner des pistes pour commencer cette question svp
Soit f : R → R une fonction borélienne, bornée et T −périodique.
1. Montrer que pour tout borélien borné A de R on a
lim intégrale(f(nx)λ(dx)) = (λ(A)/T)intégrale(f(t)dt )
L integrale de droite est sûr À
La deuxieme entre 0 et T

Michel Coste

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Re : Intégrale de lebesgue

Bonsoir,
Tu peux commencer en prenant pour $A$ un intervalle borné. En faisant un changement de variables dans l'intégrale de gauche, on peut voir ce qui se passe.

Jules81

Invité

Re : Intégrale de lebesgue

Merci pour votre réponse
J avais essayé de poser t=nx sans grand succès car je n’arrive pas à me débarrasser de la limite mais je vais réessayer

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Intégrale de lebesgue

Oui, essaie de nouveau. Et souviens-toi que les intégrales de $f$ sur des intervalles de longueur $T$ sont toutes les mêmes.

Jules81

Invité

Re : Intégrale de lebesgue

Merci
Nous sommes bien d accord qu ici les intégrales de riemann et de lebesgues ne coïncident pas ?
Dois je donc majorer f sûr A pour me débarrasser de la mesure de Lebesgue

Fred

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Re : Intégrale de lebesgue

Bonjour,

  Pourquoi y aurait-il de l'intégrale de Riemann là dedans. Tu pars d'une fonction borélienne, rien ne te dit qu'elle est Riemann-intégrable.
Et d'ailleurs, je suis gêné par tes notations. Pourquoi écrire $\lambda(dx)$ à gauche et $dt$ à droite?

F.

Jules81

Invité

Re : Intégrale de lebesgue

Bonjour
L exo m a été présenté ainsi, le but de cette question est de faire disparaître la mesure de lebesgue
A mon avis le dt est ici pour nous guider vers le changement de variable t=nx

Fred

Administrateur

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Re : Intégrale de lebesgue

En tous cas, tu devrais faire comme Michel te l'a conseillé : commencer par démontrer que, pour $a<b,$
$$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f(nx)dx=\frac{b-a}T\int_0^T f(t)dt$$
(en tenant compte de l'indication de Michel au post #4).

F.

Jules81

Invité

Re : Intégrale de lebesgue

D accord merci j vais essayer
N avez vous ps oublié la mesure de lebesgue à droite ?
Je pense que mon problème est que je ne saisis pas bien la notation lambda(dx) pouvez vous me la re expliquer merci

Fred

Administrateur

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Re : Intégrale de lebesgue

Non, je n'ai pas oublié la mesure de Lebesgue. J'aurais pu écrire $d\lambda$ (mais à ce moment là je l'aurais aussi écrit à droite) pour préciser que j'intègre par rapport à la mesure de Lebesgue, mais personnellement je n'écris jamais $\lambda(dx)$ (peut-être que d'autres ici le font).

Donc je ne pourrais pas t'expliquer cette notation. Comme je l'ai dit dans un message précédent, ce qui me gêne vraiment, c'est de ne pas utiliser la même notation du côté gauche et du côté droit, alors qu'il s'agit du même type d'intégrale (une intégrale de Lebesgue). Je veux bien que l'on veuille insister à gauche qu'on intègre sur un borélien et non sur un segment, mais c'est la seule justification que je vois.

Gourou29

Invité

Re : Intégrale de lebesgue

Bonsoir,

Si je ne m'abuse, et si ma mémoire est bonne, il faut traiter successivement les cas suivants,

- [tex]f = \mathrm{1}_{ A }[/tex].
- [tex]f = \sum_i a_i \mathrm{1}_{ A_{i} }[/tex]
- [tex]f = \lim_i \sum_i a_i \mathrm{1}_{ A_{i} }[/tex]  ( limite croissante )
- [tex]f = f^+ - f^-[/tex]  ( cas général )