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#2 09-10-2023 14:47:19
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 473
Re : Fonction réciproque
Bonjour,
Une fonction strictement croissante est bijective sur son image, et a donc une fonction réciproque définie sur cette image. Mais, même si le domaine de définition de la fonction est un intervalle, son image n'est pas un intervalle si la fonction fait des sauts.
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#4 09-10-2023 15:49:05
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 473
Re : Fonction réciproque
Parce que c'est plus sympa. Une partie de la droite réelle pleine de trous (il peut y en avoir une infinité), c'est moyen comme domaine de définition d'une fonction. Tu ne trouves pas ?
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#5 09-10-2023 16:24:01
- abdo abdo
- Membre
- Inscription : 09-10-2023
- Messages : 4
Re : Fonction réciproque
Merci.
Pourquoi donc, demander aux élèves de la terminale de vérifier la continuité comme condition nécessaire dans la définition/prop de la fonction réciproque? C'est une question (naturelle) d'un élève sc.math ^_^.
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#6 09-10-2023 18:11:45
- Bernard-maths
- Membre Expert
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 894
Re : Fonction réciproque
Bonsoir !
la question posée par abdo abdo est pertinente, pour un élève sc.math ^_^, et la réponse de Michel est "sympathique".
En effet la continuité n'est pas indispensable, mais elle cantonne les études à des situations sympas ...
Ce qui compte surtout c'est la monotonie stricte, sur le domaine d'étude, pour avoir une réciproque !
Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (09-10-2023 18:13:05)
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#8 09-10-2023 19:40:12
- bensaad azza
- Invité
Re : Fonction réciproque
salut merci pour tous
#9 09-10-2023 20:52:06
- Eust_@che
- Invité
Re : Fonction réciproque
Bonsoir tous le monde !
Est-ce qu'il ne serait pas question du "théorème de la bijection" ?
Si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, strictement monotone et continue, alors elle admet une bijection réciproque $f^{-1} \colon f(I) \longrightarrow I$, et $f^{-1}$ est continue.
J'ai dû mal à voir dans quel contexte pourrait survenir une telle proposition sinon.
E.
#10 09-10-2023 21:08:41
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 473
Re : Fonction réciproque
Une fonction strictement monotone est injective, et une fonction injective est toujours bijective sur son image.
La continuité apporte le TVI, et le fait que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
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