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Firewalkwithme

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Convexe, adhérence de convexe et connexité par arcs

Bonsoir,

Je suis aux prises avec cet exercice, me semble-t-il relativement classique :

Soit E un espace vectoriel normé, C un convexe de E et D un ensemble tel que C inclus dans D inclus dans l'adhérence de C.
Montrer que D est connexe par arcs.

On peut montrer très facilement à l'aide de la caractérisation séquentielle que l'adhérence de C est convexe donc connexe par arcs, et en faisant un dessin, j'ai tendance à dire que les cas qui posent difficulté est de relier deux points de D\C ou un de C et un de D\C mais je ne vois pas bien comment faire...

Auriez-vous des pistes pour m'aider ?

Merci d'avance

Michel Coste

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Re : Convexe, adhérence de convexe et connexité par arcs

Bonjour,
Il te suffit de montrer que pour tout $x\in D$, il existe un chemin continu $\gamma:[0,1]\to D$ tel que $\gamma(0)=x$ et $\gamma(]0,1])\subset C$.

Fred

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Re : Convexe, adhérence de convexe et connexité par arcs

Bonjour,

  Pour compléter le message de Michel, une idée naturelle pour construire ce chemin est de le faire "par morceaux" : si tu veux joindre $x$ et $a\in C$, tu commences par joindre $a$ et un point $a_1$ qui est proche de $x$. Disons que cela définit $\gamma$ sur $[1/2,1]$. Puis tu joins $a_1$ et $a_2$ avec $a_2$ qui est encore plus proche de $x$. Disons que cela définit $\gamma$ sur $[1/4,1]$. Et ainsi de suite... La convexité va intervenir pour démontrer que, mis bout à bout, ces chemins vont bien pouvoir être prolongés par continuité en posant $\gamma(0)=x.$

F.

bridgslam

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Re : Convexe, adhérence de convexe et connexité par arcs

Bonjour,

Si $d \in  D$, soit $(c_n)$ une suite de limite d à valeurs dans C.
$\forall n, \exists \gamma_n$  continue qui envoie $[1/(n+2), 1/(n+1)] $ sur une partie de C avec $\gamma_n ( 1/(n+2) = c_{n+1}$ et  $\gamma_n ( 1/(n+1) = c_{n}$ .
En posant $\gamma$ qui envoie 0 sur d , et dont les restrictions sur les intervalles coïncident avec les $\gamma_n$, on a ce qu'on veut.

[désolé Fred, je finissais de taper quand j'ai vu ton message ]

A.

Dernière modification par bridgslam (09-10-2023 15:58:44)

Firewalkwithme

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Re : Convexe, adhérence de convexe et connexité par arcs

Bonjour,

Merci beaucoup pour vos réponse. Une dernière chose : pour appliquer le théorème de prolongement par continuité, il suffit de montrer que la fonction définie sur [0,1[ admet une limite en 0, comment intervient alors la convexité ?

Merci d'avance

Michel Coste

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Re : Convexe, adhérence de convexe et connexité par arcs

Les autres intervenants t'ont mâché le travail pour la construction du chemin.
Le prolongement par continuité en 0 ne pose pas de problème  : le chemin (défini sur $]0,1]$) est une union de segments dont les extrémités sont de plus en plus proches de $x$. Je te laisse formaliser.

Dernière modification par Michel Coste (09-10-2023 14:13:15)

Fred

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Re : Convexe, adhérence de convexe et connexité par arcs

Il est aussi bon de penser à un exemple classique d'ensemble connexe par arcs dont l'adhérence n'est pas connexe par arcs, comme
$A=\{(x,\sin(1/x)):\ x>0\}$ pour comprendre où la convexité intervient...

bridgslam

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Re : Convexe, adhérence de convexe et connexité par arcs

Bonsoir,

Pour montrer que $\gamma$ est continue en 0, prenez une boule ouverte B quelconque de centre x.
A partir d'un certain rang N les $c_n$ sont dedans, ainsi que les segments (parties de C par construction) car une boule est toujours convexe.
Ainsi $\gamma([0; 1/(N+1)] ) = \{x\} \cup  \cup_{n \ge N}  [c_n,c_{n+1} ] \subset B$.
$\gamma $ est donc continue sur [0;1] en rejoignant dans C le point x.

Si C était juste connexe par arcs sans être convexe, on pourrait n'avoir de disponibles que des chemins dans C qui passent certes  aussi près qu'on veut de x à l'infini , mais qui s'en écartent aussi au moins d'une certaine distance donnée indéfiniment.
Pour visualiser tracer par exemple une courbe C qui s'appuie en oscillant sur une droite extérieure à x, dont les maximum tendent vers x indéfiniment...

Autre image (pâtissière) : une pâte feuilletée incurvée , dont les points de retours se rapprochent de plus en plus d'un point x...
Drôle d'idée de cuisine mais bon... de mémoire la transformation du boulanger est une notion de maths (en rapport avec le chaos), évoquée notamment sauf erreur dans un livre d'Ivar Ekeland.

Enfin, C peut avoir des propriétés plus faibles que la convexité pour que ça marche, penser à la lame (C)  d'une scie circulaire (dentée) de centre x dont le rayon tend vers 0. On peut avoir des chemins à base de segments de droites et de portions de cercle qui rejoignent par exemple un point du bord de C à x.

Alain

Dernière modification par bridgslam (09-10-2023 17:25:05)

Firewalkwithme

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Re : Convexe, adhérence de convexe et connexité par arcs

Bonsoir,

Merci beaucoup pour toutes ces réponses, je suis arrivé au bout. Un exercice assez élégant...