Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Antoine Daube

Membre

Inscription : 30-09-2023

Messages : 1

Distance d'un point à une partie

Bonjour, je cale sur l'exercice suivant :

On considère deux parties non-vides $A$ et $B$ de $\mathbb{R}^n$, qu'on munit de la norme euclidienne. On pose
$$\rho (A,B) = \sup\{\lvert d_A(x) - d_B(x) \rvert,  x \in \mathbb{R}^n\}\cup \{+\infty\},$$
où
$$d_A(x) = \inf\{\lVert x-y \rVert, y \in A\}.$$

Montrer que
$$\rho (A,B) = \max \left(\underset{y \in B}{\sup}d_A(y), \underset{y \in A}{\sup}d_B(y)\right).$$
Pourriez-vous m'aider ?

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 473

Re : Distance d'un point à une partie

Bonjour,
Tu peux commencer par une inégalité dans un sens qui est assez facile à montrer. Ça sera toujours ça de fait.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Distance d'un point à une partie

Bonsoir,

  Pour compléter la réponse de Michel si tu n'arrives pas à démarrer, saurais-tu prouver que :
$$\forall y\in B,\ d_A(y)\leq \sup_{x\in\mathbb R^n}|d_A(x)-d_B(x)|.$$
Il suffit de choisir un bon $x$, et on n'a pas trop le choix!!!

Pour l'autre inégalité, il faut penser à l'inégalité triangulaire (mais sous la forme $\|x-y\|\leq \cdots...$)
et faire un dessin aide forcément!

F.