Forum de mathématiques - Bibm@th.net

étudiant_curieux

Membre

Inscription : 27-09-2023

Messages : 2

Intersection entre deux espaces vectoriels

Bonjour !
J'ai une petite question concernant les espaces vectoriels ainsi que leurs familles génératrices.

Si F et G sont deux espaces vectoriels tels que :

F = Vect {u, v, w} et G = Vect {i, j}

Peut-on écrire leur intersection comme :

FnG = {u, v, w, i, j }

?

Merci d'avance !

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 473

Re : Intersection entre deux espaces vectoriels

Bonjour,
Sûrement pas !
Déjà, lensemble $\{u,v,w,i,j\}$ n'est pas un sous-espace vectoriel. Tu as sans doute oublié d'écrire "Vect" devant ?
Ensuite, $\text{Vect}(\{u,v,w,i,j\})$ est la somme des deux sous-espaces $F$ et $G$ (le sous-espace formé par les sommes d'un élément de $F$ et d'un élément de $G$), mais pas leur intersection. Trouver un système générateur de l'intersection demande un calcul.

étudiant_curieux

Membre

Inscription : 27-09-2023

Messages : 2

Re : Intersection entre deux espaces vectoriels

En effet, j'ai oublié d'écrire Vect devant la famille.

Très bien, moi qui pensais avoir trouvé une méthode rapide pour déterminer une famille génératrice de l'intersection (ce qui n'a d'ailleurs aucun sens puisque mon exercice me demande de prouver que l'intersection entre F et G ne contient que le vecteur nul), je me suis complètement planté.

Merci Michel pour votre réponse rapide !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Intersection entre deux espaces vectoriels

Bonjour,

  La méthode en vidéo.

F.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 473

Re : Intersection entre deux espaces vectoriels

"Une méthode" serait plus approprié que "la méthode".

Une autre méthode (reposant sur le fait qu'on cherche à résoudre $au+bv+cw=di+ej$) consiste à échelonner suivant les colonnes la matrice $M$ de colonnes $u,v,w,i,j$. Quand on a une matrice inversible $P$ telle que $MP$ soit échelonnée selon les colonnes, on obtient une famille génératrice de $F\cap G$ à partir des colonnes de $P$ correspondant aux colonnes nulles de la matrice échelonnée : si $\begin{pmatrix} \alpha\\\beta\\\gamma\\\delta\\\epsilon\end{pmatrix}$ est une telle colonne de $P$, alors $\delta i+\epsilon j$ est le vecteur correspondant du système générateur ainsi calculé de $F\cap G$.

Dernière modification par Michel Coste (28-09-2023 08:21:28)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 473

Re : Intersection entre deux espaces vectoriels

Je reprends l'exemple de la vidéo avec $F=\text{Vect}((1,-1,0),(2,-3,1))$ et $G=\text{Vect}((1,1,-3),(1,0,1))$. J'écris les vecteurs en ligne plutôt qu'en colonne et par conséquent j'échelonne selon les lignes, c'est plus facile à coder.

$$\begin{array}{cccc|ccc}
1&0&0&0&1&-1&0\\
0&1&0&0&2&-3&1\\
0&0&1&0&1&1&-3\\
0&0&0&1&1&0&1\\\hline
1&0&0&0&1&-1&0\\
-2&1&0&0&0&-1&1\\
-1&0&1&0&0&2&-3\\
-1&0&0&1&0&1&1\\\hline
1&0&0&0&1&-1&0\\
-2&1&0&0&0&-1&1\\
-5&2&1&0&0&0&-1\\
-3&1&0&1&0&0&2\\\hline
1&0&0&0&1&-1&0\\
-2&1&0&0&0&-1&1\\
-5&2&1&0&0&0&-1\\
-13&5&2&1&0&0&0
\end{array}$$

L'intersection est donc engendrée par $2(1,1,-3)+(1,0,1)=(3,2,-5)$. C'est aussi $13(1,-1,0)-5(2,-3,1)$.

Dernière modification par Michel Coste (28-09-2023 14:21:13)