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Viki098

Invité

Intégration de Lebesgue.

Bonjour,

Sur le lien suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9 … e_Lebesgue , on précise qu'il existe des fonctions [tex]F[/tex] dérivables sur [tex][a, b][/tex] sans que leur dérivée soit Riemann-intégrable. Pouvez vous m'en donner un exemple ?

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Intégration de Lebesgue.

Bonjour,

  Je pense que la fonction de Volterra fait le boulot!
Sa création utilise un ensemble $S$ qui est une partie fermée de $[0,1]$, de mesure non-nulle, d'intérieur vide.
Le complémentaire de $S$ est une réunion dénombrable d'intervalles. Sur chaque intervalle $[a,b]$ de ce complémentaire,
on crée une fonction dérivable $f$ avec $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0$ mais dont la dérivée est discontinue en $a$ et en $b$.

Cela peut se faire à l'aide de la fonction $x\mapsto x^2\sin(1/x),$ qui est dérivable en $0$ mais dont la dérivée n'est pas continue en $0$.

En prolongeant la fonction sur $S$ en posant $f(x)=0$ si $x\in S,$ on a une fonction dérivable sur $[0,1]$ mais dont la dérivée n'est continue en aucun point de $S.$ Ainsi, $f'$ n'est pas continue sur un ensemble de mesure strictement positive, et n'est pas Riemann-intégrable.

Avouons que c'est un exemple assez exotique!

Fred.

PEST

Membre

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Re : Intégration de Lebesgue.

Bonjour,

F définie pour x dans] 0;1] par par F(x)=x^{1,1}sin(1/x) et prolongée par continuité en 0, est dérivable partout et possède une dérivée non bornée, donc à dérivée non R-I. La fonction de Volterra est un contre exemple à ce contre exemple en imposant la condition supplémentaire F' bornée.

Dernière modification par PEST (26-09-2023 16:13:57)