Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Alesha

Membre

Inscription : 22-09-2023

Messages : 2

Espaces vectoriels topologiques

Bonsoir,
Dans un espace vectoriel topologique métrisable, on a la propriété suivante : pour tout vecteur $x$, pour tout voisinage $U$ de $0$, il existe un réel $\lambda$ tel que $x \in \lambda U$. En effet, $U$ contient une boule de rayon $r$ et de centre $0$, on pose $\lambda = d(x, 0)/r+1$ et, ainsi, $\lambda U$ contient une boule de rayon $> d(x, 0)$  et de centre $0$ et donc $x \in \lambda U$.
Cette propriété se généralise-t-elle à tout espace vectoriel topologique?

Dernière modification par Alesha (22-09-2023 01:28:06)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Espaces vectoriels topologiques

Bonjour,

  Si ton espace vectoriel topologique est sur $\mathbb R$ ou $\mathbb C,$ alors la réponse est oui.
En effet, l'application $(\lambda,y)\mapsto \lambda y$ est continue. En particulier, pour ton $x$ fixé,
la suite $\frac 1n x$ tend vers $0.$ En particulier, à partir d'un certain rang, ses termes appartiennent à $U.$

F.

Alesha

Membre

Inscription : 22-09-2023

Messages : 2

Re : Espaces vectoriels topologiques

Merci, Fred, de m'avoir répondu. J'y vois beaucoup plus clair : je comprends où intervient la topologie du corps. Il est en effet sous-entendu dans ton message que le corps $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ est muni de sa topologie usuelle. Si on considère un espace vectoriel topologique sur $\mathbb{R}$ muni de la topologie discrète, alors l'argument ne tient plus et cela devrait fournir un contre-exemple.