Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Dalal

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Triangles Parfaits

Bonjour à tous et à toutes,

Voici le petit problème :

Déterminer tous les triangles dont les longueurs des côtés sont des entiers et dont l'aire est égal au périmètre.

Passez une bonne journée,

yoshi

Modo Ferox

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Re : Triangles Parfaits

Salut,

Tu attends quoi ? Une formule pour permettre de les trouver... tous ?
Un raisonnement ?
Pour des triangles à côtés entiers de 10<=périmètre<30.
J'en ai trouvé quelques-uns en ressortant et en bidouillant un programme Python assez complet que j'avais bâti pour quelqu'un:
Maintenant, je peux tester de 30 à 10000 (et au delà), j'en trouverai probablement d'autres...

▼Résultats

a    b     c    péri   aire 
5   12   13   30     30
9   10   17   36     36
7   15   20   42     42
6   25   29   60     60 

Aire calculée à partir de la formule de Héron

@+

Vassillia

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Re : Triangles Parfaits

Bonjour,
Il manque à la liste précédente

▼Texte caché

a=6 b=8 c=10

mais je doute qu'il en existe d'autres.

Ils sont appelés "equable Heronian triangles" wikipedia

Dernière modification par Vassillia (17-09-2023 18:14:20)

Glozi

Invité

Re : Triangles Parfaits

Bonjour,
Yoshi, ton programme a du rater $(a,b,c)=(6,8,10).$

▼quelques idées

Je pense qu'il n'y a qu'un nombre fini de tels triangles.

En effet, mon idée de base est que si un triangle devient très gros, alors sa surface (qui est d'ordre quadratique) sera largement plus grande que le périmètre (d'ordre linéaire).
Plus rigoureusement on a par exemple la propriété suivante pour un triangle :
Soit $T$ un triangle, $S$ la mesure de sa surface, et $p$ son périmètre. Notons $r$ le rayon de son cercle inscrit. Alors on a la relation $r=\frac{2S}{p}$.
Si on veut $S=p$ alors forcément $r=2$, et donc le cercle inscrit d'un tel triangle ne peut être "trop grand".

On a donc deux cas, ou bien les trois longueurs des côtés sont inférieures à disons $C=1000$, ou bien nous avons le plus petit côté de longueur "petite" (cela doit être quantifiable) et les deux autres côtés très très grands (on aura donc un triangle très aplati).
Le premier cas est très bien pour nous, car comme on suppose que les longueurs des côtés sont entières, on peut chercher exhaustivement toutes les solutions avec un script python par exemple.
Le deuxième cas me semble très peu probable avec des longueurs entières. En effet, si $a$ est le plus petit côté, alors on aura disons $1\leq a\leq 7$ (par comparaison avec le cercle inscrit d'un triangle équilatéral), et par l'inégalité triangulaire on peut écrire $c=b+x$ avec $|x|< a \leq 7$.
La formule de Héron évoquée par Yoshi relie l'aire du triangle aux longueurs, $a,b,c$
$S = \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} = \frac{1}{4}\sqrt{(2b+a+x)(a-x)(2b+x-a)(x+a)}$
Soit $S=\frac{1}{4}\sqrt{((2b+x)^2-a^2)(a^2-x^2)}$
Il n'y a qu'un nombre fini de valeurs pour $a$ et $x$ et je pense que quelles que soient les valeurs de $a$ et $x$ alors il y a un nombre fini de $b$ tel que $((2b+x)^2-a^2)(a^2-x^2)$ soit un carré. (mais pour le moment ce n'est pour moi qu'une conjecture).

PS : j'étais en train de rédiger lorsque j'ai vu la réponse de Vassillia.

Bonne journée

yoshi

Modo Ferox

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Re : Triangles Parfaits

Re,

Non, le scrpit sort bien le triangle 6,8,10 : j'ai oublié de l'ajouter à la liste...
En effet, le programme dont je me suis inspiré a commencé petitement, puis s'est enrichi au fil des pages.
La discussion est là : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … d=6918&p=2 elle date de plus de 9 ans...
Je n'avais pas remis le nez dedans depuis.

Et évidemment, j'en ai oublié le pourquoi et le comment de toutes les enrichissements consécutifs...

Après avoir bien pataugé, pour adapter une des options du menu, j'ai fin par en extraire le strict minimum pour en faire un standalone exclusivement dédié à la recherche de ces fameux triangles...

Une fois les fautes de frappe, les oublis divers corrigés, j'ai fait un essai entre le périmètres 6 et 29... qui m'avait donné 6, 8, 10
Alors je l'ai retouché pour périmètre de 30 à 100, l'ai lancé et il m'a fournie que j'ai publié...
Mais, j'ai oublié de rajouter les résultats du 1er test.

Voilà, vous savez tout...

@+