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Vincent05

Invité

Exo d’algèbre

Bonjour,

J’ai une question d’un exo que je n’arrive pas à traiter. Je vous mets l’énoncé.

Soit E un K-ev. Soient (f,g) ∈ L(E)^2.
Montrer que id+g◦f ∈ GL(E) <=> id+f◦g ∈ GL(E). Puis montrer que (id+f◦g)^-1 =id−f◦(id+g◦f)^-1 ◦g.

Pour la première partie de la question je me suis servis du fait que f ∈ GL(E) <=> f est bijective et je m’en suis sorti par contre pour la deuxième partie de la question j’ai essayer (id+f◦g) ◦ (id+f◦g)^-1 pour essayer de tomber sur identité mais sans succès.

Merci par avance pour toute contribution.

Fred

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Messages : 7 352

Re : Exo d’algèbre

Bonjour,

  Je crois que c'est purement des calculs algébriques...
Tu écris $(\textrm{id}+f\circ g)(\textrm{id}-f\circ(\textrm{id}+g\circ f)^{-1}\circ g)$ et tu veux que ce soit égal à $\textrm{id}$.
En dévéloppant, on trouve
$$\textrm{id}-f\circ (\textrm{id}+g\circ f)^{-1}\circ g+f\circ g-f\circ g\circ f\circ (\textrm{id}+g\circ f)^{-1}\circ g.$$
Tu dois donc démontrer que la deuxième partie (c'est-à-dire les trois derniers termes) est nulle.

Dans ces trois termes, tu peux factoriser par $f$ à gauche et par $g$ à droite. Il suffit alors de prouver que
$$(-\textrm{id}+g\circ f)^{-1}+\textrm{id}-g\circ f\circ (\textrm{id}+g\circ f)^{-1}=0$$
ou encore que
$$\textrm{id}=(\textrm{id}+g\circ f)^{-1}+g\circ f\circ(\textrm{id}+g\circ f)^{-1}.$$
Dans le membre de droite tu peux factoriser par $(\textrm{id}+g\circ f)^{-1}$ et on tombe bien sur l'identité...

F.